АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД- метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. н. Постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояля, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /?-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д Гильберта — новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в.
68
АКТ И ПОТЕНЦИЯ К концу того же века Дж. Пеанод&л аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс — логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико- модельным. Н. Н. Непейвода
АКТ И ПОТЕНЦИЯ(лат. actus et potentia, перевод греч. evepyEia Kai Otivauic — действительность и возможность) — понятия философии Аристотеля, используемые им для разрешения противоречия между гераклитовским принципом абсолютного становления и учением Парменида, согласно которому бытие не может возникнуть ни из бытия, так как уже существовало бы до самого себя, ни из небытия, так как ничто не может возникнуть из ничего; согласно Аристотелю, становление есть переход из сущего потенциально (т. о. не-сушего актуально) в актуально сущее. Понятия акта и потенции можно прояснить прежде всего через примеры с движением (Met. 1048а). Однако движение дает только первое представление об акте, поскольку оно является незавершенным и прекращающимся при достижении цели процессом; от акта-движения отличается жг-энтелехия, завершенная деятельность (напр., видеть — значит уже увидеть; Met. 1048b). T. о., понятия акта и потенции употребляются на различных уровнях анализа не в одинаковом смысле (1048Ь5), и потенция в соотношении с актом-движением отличается от потенции в соотношении с актом-сущностью. Аристотель различает потенцию: (1) деятельную, (2) страдательную, (3) перехода в иное и (4) пребывания (Met. 1019а32 — 1019Ь5). Потенцию в метафизическом смысле следует отличать от логической потенции (называемой в схоластике possibilitas) (Met. 1019b22—33). Понятия акта и потенции соотносятся понятиями формы и материи (см. Форма и материя). Однако потенцией обладает не любая материя, а только та, что содержит возможность возникновения в себе самой: так, не земля является потенцией человека, а семя (Met. 1048Ь39 — 1049а18). Акт является первичным по отношению к потенции и по определению, и по субстанции, и в строгом смысле по времени (Met. 1049b - 1050а). Различное соотношение акта и потенции в вещах определяет их онтологическую иерархию. Действительное сущее является причиной актуализации сущего в возможности; вечное движение небесных тел представляет собой чистый акт, хотя оно обладает потенцией к акцидентальным изменениям относительно места (Met. 1050b). Причинно-следственная цепь приводит в конечном итоге в наивысшему акту, актуализирующему все потенции в универсуме — неподвижному перводвигателю, собственным актом которого является самопознание (Met. 1072b). С помощью оппозиции акта- потенции Аристотель решает различные проблемы физики, метафизики, антропологии, этики — такие, как различения субстанции души и ее действий («De amina», 418a), существование бесконечности (Phys. 206a8-18), соотношение общего и единичного (Met. 1086M - 1087а25). Учение Аристотеля об акте и потенции было принято неоплатониками, в значительной мере переосмыслившими его и соединившими с платоновским учением об идеях, которые рассматривались как потенции в мировом уме. Так, согласно Плотину, идеи существуют в единстве в космическом Уме в качестве универсальных категорий (Епп. V 8, 9), но каждая из них — индивидуальная потенция, потенциально отделимый эйдос (Епп. V 9, 6), который может действовать и в умном, и в чувственном мире (Епп. IV 4, 36). Т. о., в отличие от аристотелевской концепции, согласно которой Ум является чистым актом, неоплатоники говорили о наличии потенции в Уме; помимо оппозиции акт-потенция они ввели различение между совершенной потенцией актуального, позволяющей творящему проявлять свою активность, и несовершенной потенцией потенциального, позволяющей принимать эту активность. Их взаимодействие определяет собой мир становления (Прокл. Первоосновы теологии, 75-92). В раннехристианской традиции неоплатоническую концепцию акта и потенции использовали Григорий Нисский и Августин в учении о Троице и Логосе (как Боге Слове), содержащим в вечности потенции вещей. На христианскую традицию также повлиял феческий перевод Библии (Септуагинта), в котором «силы Бога» передаются словом ouvafiic (потенция). Учение Аристотеля об акте-потенции не оказывало явного влияния на средневековую мысль, пока были известны лишь его логические труды и «Категории», содержащие учение о субстанции и акциденциях. Только после распространения всего аристотелевского корпуса оппозиция акта и потенции стала играть большую роль в зрелой схоластике, в частности в трудах Фомы Аквинского. Фома рассматривал соотношение потенции души и ее сущности (Комментарий на 1 кн. «Сентенций», 3,4,2; О Духе Творящем, 1 и др.) и проблему существования потенций в Боге («Сумма против язычников», 1,1, 6 и 7; «Сумма теологии, 1, 25, 1 и 2; «О потенции», 1, 1 и др.). Последнюю он решал посредством различения активной потенции (как оппозиции акту-потенции), присущей Богу в высшей степени, и пассивной потенции (как оппозиции акту-форме), не присущей Богу. Наиболее новаторски Фома использует понятия акта и потенции, обсуждая проблему соотношения сущности и сущего («О сущем и сущности», ГУ). В противовес концепции гилеморфизма, согласно которой все сущее состоит из формы (как акта) и материи (как потенции), он выдвигает учение о том, что высшие интеллигенции состоят из формы, имеющей примесь потенциальности, и из актуализирующего ее акта существования. Дуне Скот сохранял различие акта как субстанциальной формы (actus primus, actus simpliciter) и акта как деятельности (actus secundus), а также различие активной и пассивной потенции; акт как определенность и потенция как определимость соответствовали форме и материи. Но в отличие от аристотелевско-томистской традиции Дуне Скот считал материю не чистой потенцией, а некоторой действительной вещью (aliqua res actu; De rer. Princ. q. 7, f. 1, n. 3). Поскольку сущность Бога он усматривал прежде всего в воле, а не в разуме, то он считал, что Бог может сотворить невозможное, ибо потенция его абсолютная (potentia absoluta); будучи благой, воля Бога творит самое разумное. Отличие творения от Бога Дуне Скотт полагал не в наличии потенции, а в несовершенстве тво-