Есть совершенно справедливое утверждение, что нельзя одновременно анализировать понятие и его использовать. Логика — это наука, которая анализирует базовые математические понятия с точки зрения их непротиворечивости и корректности. Фактически она пытается ответить на кантовский вопрос: “Как возможно строгое математическое мышление?” Гидродинамика — это прикладная математическая наука, которая соотносит свои результаты не с высокими мыслительными абстракциями, а с прямой физической реальностью — с движением жидкостей. Если гидродинамик начнет рассуждать о том, насколько правомерно использование логических конструкций в его рассуждениях, он, конечно, никаких результатов не получит; он просто не сдвинется с места, как та сороконожка.
Всякая научная деятельность начинается с полагания границ и заканчивается исчерпывающим, на заданном уровне абстрагирования, описанием отграниченной области знания.
Молодые математики могли и не думать о подобных вещах, когда говорили с Колмогоровым каждый о своей проблеме. Но они не могли не чувствовать, что происходящее выходит за рамки нормального научного процесса, что они столкнулись с настоящим чудом, что человек, который способен с такой легкостью мыслить “поверх барьеров” и при этом не впадать в противоречия, не путаться во всякого рода междисциплинарной чепухе (что сегодня, к сожалению, так популярно), а сохранять цельность и строгость мышления, этот человек — гений. И в истории математики XX века был, возможно, всего один такой математик кроме Колмогорова — Давид Гильберт. (Близкий друг Колмогорова Павел Сергеевич Александров полагал, что к этому очень короткому списку можно добавить еще Лёйтзена Брауэра.) Но Гильберту было легче, потому что математика в начале XX века была гораздо компактнее, чем в его середине.
Слава пришла к Колмогорову рано. Владимир Арнольд приводит свой разговор с французским математиком: “М. Фреше говорил мне в 1965 г.: „А, Колмогоров — это тот молодой человек, который построил суммируемую функцию с расходящимся почти всюду рядом Фурье?” Все последующие достижения Андрея Николаевича — в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе, теории турбулентности, теории динамических систем — в глазах Фреше были менее ценны”. Свой знаменитый пример функции, который произвел на Фреше (и, конечно, не только на него) такое неизгладимое впечатление, Колмогоров опубликовал, когда ему было 23 года — в 1926 году. В комментарии к колмогоровскому письму 1945 года замечательно резюмировал его исследования Владимир Тихомиров: “В кратком абзаце соединены три, казалось бы, несовместимые структуры — теория вероятностей, динамические системы и математическая логика. Именно это, несоединимое, он и пытался объять ценой грандиозных усилий в последнее десятилетие своей активной творческой жизни, которым я считаю 1953 — 1963 гг. Динамические системы — это системы, где все предопределено, вероятностные — где все случайно. Но выяснилось, что между этими, казалось бы, разделенными непроходимой пропастью областями на самом деле никакой пропасти нет. Детерминированное, но сложное ведет себя как случайное, а случайное подвержено строгим детерминированным оценкам. И соединяющий мост осуществляется математической логикой...”
Чтобы попасть в ученики Колмогорова, недостаточно было продемонстрировать блестящие математические способности — нужно было еще пройти настоящую инициацию, по всем правилам — с преодолением физической усталости и боли. Это не было прямым требованием, но отказывались не часто.
Иногда это испытание было по-настоящему опасно для жизни. Владимир Золотарев так вспоминает о своей “инициации”: “Андрей Николаевич <…> любил далекие пешие и еще более дальние лыжные прогулки и иногда предлагал своим гостям, чаще всего ученикам, составить ему компанию. Причем на лыжах надо было идти в максимально легком одеянии — в трусах и майке или без оной. Как-то зимой 1959 г. такое предложение выпало и мне, когда я приехал в Комаровку, где Андрей Николаевич с Павлом Сергеевичем проводили свое лучшее время и летом, и зимой. Мороз был небольшой, примерно 10 — 12 градусов. Хотя для меня такая прогулка была внове, я все же не отказался, и мы пошли от Комаровки до станции Монино (и, заметьте, обратно). Как назло, незадолго до этого я перенес вирусный грипп и потому трудность путешествия почувствовал довольно быстро, но не сдавался и пытался даже обогнать А. Н. (которому, заметьте, было 56 лет. — В. Г. ). Через какое-то время я почувствовал, что сердце мое сдает. Когда мы вернулись, я признался Андрею Николаевичу, что чувствую себя плохо. Пульс был чуть ли не за двести ударов в минуту, А. Н. сам убедился в этом, и я был отправлен на койку. Через час-два я пришел в себя и заметил, что А. Н. очень доволен тем, что „укатал” меня до такого состояния, а сам остался в полнейшей норме”. О своих лыжных мучениях вспоминает и Владимир Успенский.