Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели — со знаменателями.
Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно быть неотъемлемой частью математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам”.
Арнольд пишет и о том, что Колмогоров приглашал его участвовать в разработке учебников математики, по которым учились в семидесятые — восьмидесятые годы советские школьники, и Арнольд отказался от лестного и выгодного предложения по соображениям идеологическим. Потому что нельзя начинать обучение математике с аксиом. Двенадцатилетний ребенок просто не в силах понять, зачем ему нужно специально заучивать такие интуитивно совершенно очевидные вещи, как то, например, что через две точки можно провести одну, и только одну, прямую. Нельзя учить складывать дроби, вводя Дедекиндовы сечения или кольцо Гротендика. Тем более, что исторически аксиоматика очень часто не столько основание математической теории, сколько ее завершение.
Но нельзя и отказываться от доказательств тоже. Иначе математика становится тем самым набором рецептов и инструкций. Результаты — это плоды, и если я не представляю себе, как они получены, то не представляю себе и того, как можно получать новые результаты. Тогда я думаю, что яблоки растут на витринах супермаркета. А если я это усвоил с детства, то меня уже не переубедить.
Доказательства — это корни и ветви единого математического дерева. Без них математика так же мертва, как и без приложений. А доказательства должны быть корректными и строгими, что само по себе требует изучения логики и оснований математики, в частности анализа аксиом.
Владимир Успенский пишет в своей книге “Труды по нематематике”: “В 50-х годах прошлого века, по возвращении с индийских научных конференций, мои московские математические коллеги с изумлением рассказывали мне, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. Хотя такое местоуказание математики, на мой взгляд, совершенно справедливо, я все же буду придерживаться традиционного для отечественной культуры противопоставления” (http://www.mccme.ru/free-books/usp.htm).
Арнольд — крупнейший в мире специалист в области дифференциальных уравнений — области, самой близкой к приложениям как в теоретической физике, так и в экономике. И его взгляд на математическое образование во многом этим определяется. Владимир Успенский — логик, и, конечно, его более интересует гуманитарная составляющая математического знания. И та и другая точка зрения совершенно правомерны и необходимы, хотелось бы только, чтобы они не входили в прямой конфликт, а дополняли друг друга и в научном исследовании, и в математическом образовании школьников.
“Я — математик”, — гордо сказал Норберт Винер. “...Я все же понял „нутром”, так сказать, что я — математик: тот, кто занимается математикой, в полном смысле этого слова, так, как „занимаются” любовью. Математика стала для меня возлюбленной, всегда благосклонной к моим желаниям” (Александр Гротендик, “Урожаи и посевы” — http://www.mccme.ru/free-books/recoltes.ps).
Математиков уровня Винера и Гротендика в двадцатом веке очень немного. Оба они математики в превосходной степени, чистая культура профессии.
Никогда я не мог и не смогу сказать о себе так. Математика была и осталась рядом со мной. Но я не вошел в волшебный сад — как называл математику Гильберт. Я остановился у калитки. Не знаю почему. Может быть, я шел со слишком громоздкой поклажей и попросту не протиснулся в двери. А может быть, не хватило терпения и таланта.