Следует иметь в виду, что до появления анализа бесконечно малых (а произошло это в конце XVII века) могли изучаться только самые простые виды движения: равномерное движение, при котором пройденное расстояние линейно зависит от времени, скорость постоянна и отсутствует ускорение, или равномерно ускоренное движение, когда пройденное расстояние пропорционально квадрату времени и, таким образом, скорость пропорциональна времени и постоянному ускорению.
Изучение последнего вида движения, которое наблюдается, например, при падении тела под воздействием силы тяготения, потребовало всех мыслительных способностей гениального Галилея, который вник в сущность явления за несколько десятилетий до того, как благодаря анализу бесконечно малых изучение этого типа движения стало относительно простым.
Вернемся к одному из наших примеров: тело в движении прошло расстояние s(t) = sqrt(t) за время t (время мы измеряем в секундах, а расстояние – в метрах). Расчет средней скорости, с которой двигается тело, – задача легкая: например, за период времени между 1 и 4 секундами средняя скорость будет равняться результату деления пройденного расстояния на затраченное время:
Средняя скорость
Но что произойдет, если вместо средней скорости за интервал времени мы захотим измерить мгновенную скорость, с которой движется тело в конкретный момент? Для простоты представим, что мы хотим измерить эту скорость именно в тот момент, когда наступает первая секунда движения. Для этого возьмем изменение времени h и посчитаем среднюю скорость между 1 и 1 + h.
Средняя скорость
Чтобы посчитать мгновенную скорость в первую секунду, достаточно приравнять h к нулю. Но тогда, как и ранее, мы получим не имеющий смысла результат:
Мгновенная скорость в момент времени 1 =
Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению производной функции, которая измеряет расстояние s(t) = sqrt(t) при t = 1.
Предыдущая таблица показывала, что значение этой производной должно быть 0,5. Теперь посмотрим как, используя предыдущее выражение, мы можем выполнить кажущееся бессмысленным деление на ноль и получить ожидаемое значение:
Средняя скорость
Далее умножаем числитель и знаменатель на sqrt(1+h) + 1 и сокращаем:
Средняя скорость
Если в этом выражении мы приравняем значение h к нулю, задача меняется, и при h = 0 отсутствует деление на ноль. Как и подсказывала таблица, частное при h = 0 составляет 0,5. В физических терминах это означает:
Мгновенная скорость в момент времени
Таким образом, от бессмысленного деления нуля на ноль мы пришли к заключению, что если тело проходит sqrt(t) метров за t секунд, то за 1 секунду оно движется со скоростью:
Другое базовое понятие анализа бесконечно малых – интеграл. Он применяется для измерения площади графика функции.
Пусть у нас есть функция ƒ, определенная между числами a и b, тогда интеграл . символ интегралbaƒ(t)dt есть площадь образованной функцией фигуры. Символ символ интеграл для записи интеграла ввел Лейбниц, он является стилизацией буквы s – первой буквы слова «сумма». Почему выбор Лейбница пал именно на нее, мы увидим позже.
РИС.1
Понятие интеграла гораздо более объемное, чем понятие площади. В математике его можно использовать, чтобы рассчитывать объем, длину или центр тяжести, а в физике он соответствует понятию работы: работа, необходимая, чтобы переместить тело, на которое воздействует сила ƒ, между положениями a и b, равна символ интегралbaƒ(t)dt.
Интеграл также необходим для расчета расстояния, пройденного телом, если известен закон его движения (скорость).
Производную и интеграл связывает основная теорема анализа, согласно которой интегрирование обратно дифференцированию. Ньютон называл анализ расчетом флюксий, а мы знаем его как дифференциальное исчисление – это название предложил Лейбниц, второй изобретатель анализа бесконечно малых. Ньютон же считал интегральный анализ обратным анализу флюксий и никогда не стремился дать ему собственное наименование.
Давайте проанализируем простую физическую задачу: какое расстояние прошло тело за 4 секунды от начала движения, если к t секундам оно двигается со скоростью t² метров в секунду? Это соответствует функции v(t) = t² , которую мы уже рассматривали, и ответ равен символ интегралbat²dt. Как рассчитывается этот интеграл? Исходя из понимания интеграла как площади, его значение соответствует площади, ограниченной участком функции, имеющим параболическую форму. Точное определение интеграла – если не обращаться к геометрическому пониманию площади – сложный вопрос.
Если мы посмотрим на рисунок 1, то убедимся, что площадь состоит из вертикальных сегментов длины/(Ј), где число t принимает все значения между a и b. Рисунок предполагает, что площадь – это сумма этих сегментов. Далее, эти сегменты, будучи отрезками прямой линии, имеют ширину 0, из-за чего кажется, что их сумма не сможет образовать никакой площади. И снова мы сталкиваемся с бесконечно малым значением ширины этих сегментов, которые требуется сложить. В записи, предложенной Лейбницем, появляется понимание площади, ограниченной кривой, как суммы бесконечно малых: в соответствии с рисунком 1 каждый сегмент графика имеет высоту ƒ(t) и, по Лейбницу, бесконечно малую ширину, которую мы записываем как dt. Площадь этих сегментов равна произведению основания на высоту, то есть ƒ{t)dt, а общая площадь, которую мы хотим вычислить, будет суммой произведений: символ интегралƒ(t)dt. Какое значение следовало придать этой сумме, Лейбниц и Ньютон – основатели анализа бесконечно малых – так и не объяснили.
Как мы уже говорили, анализ бесконечно малых связывает производную и интеграл, а согласно основной теореме анализа производные и интегралы являются обратными величинами. Точнее говоря, если мы хотим рассчитать интеграл символ интегралbaƒ(t)dt, то в соответствии с основной теоремой анализа достаточно вычислить функцию F такую, что F'(t) = ƒ(t) для каждого числа t между a и b; тогда символ интегралbaƒ(t)dt = F(b) – F(a). (Также нужно учесть дополнительное условие – неразрывность функции ƒ.)
Рассмотрим пример: основная теорема анализа делает вычисление символ интегралbat²dt довольно простым. Понятие интеграла крайне гибко, так как в зависимости от своей интерпретации он служит для расчета площади, ограниченной параболой или спиралью Архимеда, либо, как мы видели, расстояния, пройденного телом, которое двигается со скоростью v(t)=t² .
Используя основную теорему анализа бесконечно малых, достаточно найти функцию F, производная которой будет равна t². Общая форма производной функции вида ƒ(t)=t' равна ƒ(t)-ntn-1. Отсюда получается, что производная функции
равна t² , так как F'(t)=ntn-1 =3 * t²/3=t². Таким образом:
Как мы уже говорили, расстояние, пройденное за четыре секунды телом, движущимся в течение t секунд со скоростью t² м/с, дает интеграл символ интегралbat²dt ; таким образом, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4, чтобы получить
