Пропускаю десять теорем и перехожу к шестнадцатой: «В каждом треугольнике, одна сторона которого продолжена, внешний угол больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних». Доказательство Евклида таково (см. рис. 4).
Возьмем треугольник abg, продолжим сторону bg к d, и я утверждаю, что внешний угол agd больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних. Разделим сторону ag пополам в точке е, проведем линию be, продолжим ее до z p сделаем ez равной еb, соединим точки z и g и продолжим ag до h. Так как ае равна eg и be равна ez, то две стороны ае и eb равны двум сторонам ge и ez, взятым в отдельности, и угол aeb равен углу zeg, ибо это — вертикальные углы. Тем самым основная линия ab равна основной линии zg и треугольник аbe равен треугольнику zeg: а остальные углы равны остальным углам, следовательно, и угол bae равен углу egz. Однако угол egd больше угла egz, следовательно, и угол agd больше угла bae. Если разделить пополам и линию bg, то подобным же образом можно доказать, что угол bgh, т. е. его вертикальный угол agd, больше, чем abg.
Я бы доказал эту теорему следующим образом (см. рис. 5). Для того чтобы угол bag был равен, а тем более превзошел бы, угол agd, линия ba (ибо это и означает равенство углов) должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, как bd, т. е. быть параллельной bd, другими словами, никогда не пересекаться с bd; однако для того чтобы образовать треугольник, она должна (основание бытия) пересечься с bd, т. е. совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол bag хотя бы достиг величины угла agd.
Для того чтобы угол abd был равен углу agd, а тем более превосходил его (ибо именно это и означает равенство углов), линия bа должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, что bd, т. е. идти параллельно bd, другими словами, никогда не пересекаться с ней; но для того чтобы образовать треугольник (основание бытия), она должна пересечься с линией ag, следовательно, совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол abg хотя бы достиг величины угла agd.
Всем этим я отнюдь не хотел предложить новый метод математических демонстраций или заменить моим доказательством доказательство Евклида; для этого оно не подходит по всему своему характеру, а также потому, что оно предполагает понятие параллельных линий, которое лишь позже встречается у Евклида; я хотел лишь показать, чтó есть основание бытия и чем оно отличается от основания познания, которое действует лишь convictio, а это нечто совсем другое, чем понимание основания бытия. То, что в геометрии стремятся действовать лишь convictio, что производит неприятное впечатление, а не пониманием основания бытия, которое, как всякое понимание, удовлетворяет и радует, послужило, вероятно, одной из причин того, что многие люди глубокого ума не склонны заниматься математикой.
Не могу удержаться, чтобы не поместить здесь еще раз уже данную в другом месте фигуру (рис. 6); один взгляд на нее, без всяких рассуждений, убеждает в истинности теоремы Пифагора в двадцать раз больше, чем запутанное доказательство Евклида. Читатель, которого заинтересовала эта глава, найдет дальнейшее рассмотрение этой темы в «Мире как воле и представлении», т. 1, § 15 и т. 2, гл. 13.
Седьмая глава
§ 40. Общее объяснение
Последний, предстоящий еще нашему рассмотрению, класс предметов способности представления очень своеобразен, но и очень важен: в нем для каждого заключен только один объект, а именно непосредственный объект внутреннего чувства, субъект воления, который есть объект для познающего субъекта и дан только внутреннему чувству; поэтому он является только во времени, не в пространстве, и даже в нем, как мы увидим, со значительным ограничением.
§ 41. Субъект познания и объект
Каждое познание обязательно предполагает субъект и объект. Поэтому и самосознание не просто, а распадается, как и познание других вещей (т. е. способность созерцания), на познаваемое и познающее.
Здесь познаваемое выступает исключительно и полностью как воля.
Поэтому субъект познает себя только как валящего, а не как познающего. Ибо представляющее Я, субъект познания, будучи необходимым коррелятом всех представлений, их условием, никогда не может само стать представлением или объектом; к нему применимо прекрасное изречение священных Упанишад: Id videndum non est: omnia videt; et id audiendum non est: omnia audit; sciendum non esi: omnia scit; et intelligendum non est: omnia intelligit. Praeter id, videns et sciens, et audiens, et intelligens ens aliud non est (Oupnek'hat, vol. 1, p. 202)088 .
Поэтому–то и не существует познания познания, ибо для этого нужно было бы, чтобы субъект отделился от познания и все–таки познавал бы познание, что невозможно.
На возражение: «я не только познаю, но и знаю, что я познаю» — я отвечу: твое знание о твоем познании отличается от твоего познания только выражением. «Я знаю, что я познаю» утверждает не более, чем «Я познаю», а оно без дальнейших определений утверждает не более, чем «Я». Если твое познание и твое знание об этом познании отличаются друг от друга, то попробуй иметь каждое из них в отдельности: познавай, не зная об этом, или же знай о твоем познании так, чтобы это знание не было бы одновременно познанием. Правда, от всякого особенного познания можно абстрагироваться и получить таким образом положение «Я познаю», которое есть последняя возможная для нас абстракция; но оно тождественно с положением «для меня существуют объекты», а это положение тождественно положению «я субъект», в котором не содержится ничего, кроме «Я».
Можно, конечно, спросить, откуда, если субъект не познаваем, нам известны его различные познавательные способности — чувственность, рассудок, разум? Они известны нам не потому, что познание стало для нас объектом, иначе о них не было бы столько противоречивых суждений; они получены посредством умозаключений, или, вернее, они — общие выражения для установленных классов представлений, которые во все времена более или менее определенно различались именно в этих познавательных способностях. Однако в отношении к необходимому в качестве условия корреляту этих представлений, субъекту, они абстрагированы от этих представлений и относятся, следовательно, к классам представлений совершенно так же, как субъект вообще к объекту вообще. Как вместе с субъектом тотчас полагается и объект (ибо в противном случае само это слово не имеет значения), а с объектом — субъект и, следовательно, быть субъектом означает то же, что иметь объект, а быть объектом — то же, что быть познаваемым субъектом, точно так же вместе с определенным каким–нибудь образом объектом тотчас таким же образом полагается и субъект как познающий. В этом отношении все равно, скажу ли я: объекты имеют такие–то присущие им особые определения — или: субъект познает таким–то и таким–то образом; все равно, скажу ли я: объекты следует разделять на такие классы — или: субъекту свойственны такие различные познавательные способности. Следы и этого понимания находятся в работах Аристотеля, в этом удивительном смешении глубокомыслия и поверхностности, как и вообще в них заключен зародыш критической философии. В работе «De ahima» III, 8 он говорит: anima quadammodo est universa, quae sunt089 , затем, ? δ νους εστι ειθος, что значит рассудок есть форма форм, καιηαισ θησις ειθος αισθητων, a чувственность — форма чувственных объектов. Поэтому сказать ли: нет более чувственности и рассудка — или: миру пришел конец — одно и то же. Сказать ли: понятий не существует — или: разум исчез, остались только животные — одно и то же.
Непонимание этого отношения служит поводом спора между идеализмом и реализмом, который в последнее время идет между старым догматизмом и кантианцами или между онтологией и метафизикой, с одной стороны, и трансцендентальной эстетикой и трансцендентальной логикой — с другой; этот спор основан на непонимании указанного отношения при рассмотрении первого и третьего из установленных мною классов представлений, подобно тому как спор между реалистами и номиналистами в средние века был основан на непонимании этого отношения применительно ко второму из наших классов представлений.