Затем идет разбор математических приемов («диалектических вспомогательных средств и оборотов»), и здесь на первый план выступает диалектическое противоречие — прямого и кривого, отрицательного и положительного, конечного и бесконечного, прерывного и непрерывного. Это есть более полное раскрытие противоречия качества и количества, с которого начался анализ.
Особенно выпукло такие противоречия Энгельс вскрывает в области высшей математики (в дифференциальном исчислении).
Наконец, следуя принципам материалистической теории познания, Энгельс ищет и находит для математики её вещественные лрообразы в действительном мире (источники, откуда генетически заимствовались математические понятия и приемы). Это делается в первую очередь для математического бесконечного. Такова глава I «Математика».
Так как математика с её математическими абстракциями трактуется Энгельсом как вспомогательное средство для механики, как самой абстрактной из естественных наук, то этим намечается естественный переход от нее к механике. Механику Энгельс берет в двух разрезах: как небесную механику и как механику земных масс В первом случае здесь встает прежде всего необходимость рассматривать (вслед за Кантом и Лапласом) механику неба как процесс развития, идущий от простейших форм материи (абстрактного) к более сложным и развитым (конкретному). Поэтому здесь прежде всего выступают именно эти две категории диалектики — абстрактное и конкретное.
Здесь снова, но уже в более конкретном виде, выступает противоречие между основными формами движения — между притяжением и отталкиванием; это находит свое отражение в анализе приливного трения, оказывающего тормозящее воздействие на вращение Земли, что было открыто тем же Кантом, который выдвинул и космогоническую гипотезу происхождения солнечной системы из первоначальной вращающейся туманности.
Рассмотрением проблемы, связывающей вращение Земли и лунное притяжение, намечается, переход от механики неба к механике земных масс. Здесь в первую очередь выступает понятие «сила», поскольку речь идет о процессах, происходящих только в рамках механики и не выходящих за её границы. «Сила» и есть та категория механики, которая выражает количественное сохранение движения в данной его форме (скажем, механического движения) и его перенос в этой форме от одного тела к другому.
Если же совершается превращение данной формы движения в другую, то в области механических явлений мерой этого движения становится уже не импульс, а кинетическая энергия («живая сила»). С этих позиций Энгельс разъясняет суть спора между математиками XVII—XVIII вв. о мере движения. Таково содержание главы II «Механика». В конце её намечен прямой переход к следующей главе, центром которой становится учение об энергии, как мере движения, о её количественном сохранении и качественном превращении её форм.
Первой и простейшей из таких физических форм, непосредственно примыкающей к механическому движению, является теплота.
Именно раскрытие — сначала чисто эмпирическое, а затем и в теоретической форме — её связи с механическим движением и их взаимного превращения друг в Друга явилось важнейшим отправным пунктом для познания основного физического закона движения — закона сохранения и превращения энергии.
История его открытия, как показывает Энгельс, свидетельствует о том, что восхождение от единичного через особенное к всеобщему есть не только общий закон всякого познания, но и закон, следуя которому ученые приходят к открытию новых законов природы. Тем самым здесь диалектика раскрывает свои логическую и теоретико-познавательную функции. Поэтому именно здесь показано, как «работают» названные три категории диалектической логики.
Диалектический цикл здесь замкнулся, когда после открытия прямого превращения механического движения в тепловое (получение огня путем трения) удалось добиться обратного превращения теплоты в механическое движение (в паровой машине). Таково содержание главы III «Физика. Теплота». В ней показано, что теплота, как более сложная и более конкретная (нежели механическая) форма движения, возникает в качестве одной из физических его форм, которые Энгельс называет молекулярными движениями (поскольку он трактует всю физику как механику молекул). Не останавливаясь специально на лучистой форме движения (т.е. на свете), Энгельс особое внимание уделяет электричеству, поскольку от него может быть осуществлен (через электрохимию) прямой переход от физики к химии.