Но сжатый эллипсоид, форму которого имеет, например, Земля, не обладает таким свойством. У него наибольшую величину имеет момент инерции относительно короткой оси. Поэтому вращение только около этой оси имеет устойчивый характер.
Разработанная Эйлером теория объяснила множество явлений, наблюдаемых при вращении тел. Она получила широкое применение в технике при расчетах машин, а в астрономии — при изучении фигуры планет.
Вращение твердых тел
Законами вращения, выведенными теоретически Эйлером, объясняются замечательные свойства вращающихся тел, например волчка и гироскопа. Эйлер и Лагранж изучили два рода волчков.
Волчок Эйлера представляет собой подобие колокольчика с утолщенным нижним краем. Точка опоры его находится внутри и совмещается с центром тяжести волчка.
Другой вид волчка изучен французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813).
Жозеф Луи Лагранж был сыном бедных родителей и с ранних лет должен был сам добывать средства к жизни. В возрасте девятнадцати лет он уже преподавал математику в артиллерийском училище. В 1764 году Лагранж получил большую известность, представив в Парижскую Академию наук исследование либрации Луны[17], удостоенное специальной премии. Через два года после этого он был приглашен Берлинской Академией наук занять место Эйлера, уехавшего в Россию.
В Берлине Лагранж прожил двадцать лет и издал много трудов по математике и механике. Там же он написал свою знаменитую «Аналитическую механику», но не нашел для нее издателя. Только по возвращении его в Париж эта замечательная работа была опубликована (в 1788 году).
Волчок Лагранжа отличался от изученного Эйлером тем, что у него центр тяжести лежал выше точки опоры. Приведенный в движение, волчок вращался бы равномерно (замедление вращения происходит вследствие трения в точке опоры и в окружающем воздухе). Его движение вполне аналогично равномерному поступательному движению по инерции.
Волчки, вращение которых исследовалось Эйлером (слева) и Лагранжем (справа).
Изучая вращение волчка, механики познакомились с замечательным проявлением инерции — сохранением направления оси вращения.
Волчок, служащий детской игрушкой, позволяет легко убедиться в этом. Приведенный во вращение развернувшейся пружиной, он кажется неподвижным.
Кажущееся на первый взгляд странным сохранение направления оси вращения объясняется очень просто: каждая частица вращающегося тела по инерции сохраняет направление своего движения; поэтому сохраняется положение плоскости, в которой она движется, а ось вращения — воображаемый перпендикуляр к этой плоскости, восстановленный в центре кругового пути частицы.
Поскольку неизменно положение плоскости, в которой лежит путь частицы, постольку сохраняется и направление оси вращения. Когда же внешняя сила заставляет частицы тела изменить направление движения, то инерция частиц сопротивляется этой силе. Это сопротивление ощущается как сила, поворачивающая ось вращения.
Если держать в руках концы оси вращающегося велосипедного колеса и поворачивать ось в горизонтальной плоскости, то частицы колеса сопротивляются изменению их движения и руки испытывают давление вертикальных сил. Наоборот, при поворачивании оси в вертикальной плоскости силы давления действуют в горизонтальном направлении. Рассматривая относительное направление сил, меняющих положение оси вращения и сопротивления этому изменению, можно вывести такое правило: когда на ось вращающегося волчка действует отклоняющая сила, то возникает движение оси в направлении, перпендикулярном этой силе.
Это явление удобно наблюдать на приборе особого устройства. Такой прибор состоит из горизонтального стержня, несущего вращающийся диск и груз. Диск и груз находятся по сторонам от точки опоры стержня, могущего поворачиваться как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости.
Груз уравновешивает диск, но если передвинуть его дальше от опоры, то он станет поворачивать ось вращения диска в вертикальной плоскости. Вследствие этого стержень получит лишь легкое колебание вверх и вниз, но зато станет вращаться около точки опоры в горизонтальной плоскости, то-есть перпендикулярно к направлению отклоняющей силы.
Волчок, изученный Эйлером и Лагранжей, — не вполне свободное тело. Более свободным является гироскоп Боненбергера.
Рычажный гироскоп Фесселя. Вращающийся диск сохраняет положение оси, но под влиянием силы тяжести прибор получает вращение в горизонтальной плоскости.
17
Либрацией Луны называются небольшие колебания ее относительно Земли, вследствие чего наблюдению доступно более половины лунной поверхности.