Конечно, это — только остроумное сравнение, а не доказательство. Более серьезное значение, как казалось, могло иметь следующее указание Галилея на внутреннее противоречие в учении Аристотеля о падении тел: если более тяжелое тело падает быстрее, чем легкое, то какова скорость падения связанных вместе этих тел? Тяжелое должно ускорять, а легкое замедлять падение связанного с ним тела. Значит, скорость должна быть некоторой средней. По учению же Аристотеля, она должна быть большей, чем у тяжелого тела.
Понятно, что подобное рассуждение не могло решить проблему свободного падения. В нем Галилей обращается к еще более сложной проблеме — взаимодействию тел, законы которого отнюдь не очевидны.
Галилей и не довольствовался такими рассуждениями. Он правильно думал, что только опыт может подвести к открытию законов движения тел. И Галилей прибегнул к опыту с маятником — колеблющимся тяжелым шариком на тонкой нити.
Колебание маятника происходит потому, что отведенный в сторону грузик падает. Но нить удерживает его на одном и том же расстоянии от точки подвеса. Поэтому грузик движется по дуге круга.
Достигнув низшей точки, грузик по инерции поднимается до прежней высоты и останавливается. Затем он снова падает и так колеблется из стороны в сторону, пока его не остановит сопротивление воздуха.
Галилей пробовал подвешивать на нити свинцовую пулю, пробку, глиняный шарик. Все эти маятники при равной длине совершали колебания в одинаковый промежуток времени. Значит, скорость падения грузиков не зависела от их веса. Но по каким законам движется свободно падающее тело? Это еще никому не было известно. Только Галилей, положивший в основу своих исследований инерцию движения, сумел вывести эти законы.
Прежде чем приступить к решению проблемы движения тел, Галилей должен был внести ясность в понятия о скорости и ускорении.
Что такое скорость равномерно движущегося тела, это было известно всем. Но что понимать под скоростью тела, ускоряющего или замедляющего свое движение?
Галилей ввел понятие о средней скорости.
Положим, что, двигаясь ускоренно, тело прошло в течение некоторого времени определенное расстояние. Можно представить, что за то же время оно могло пройти такое расстояние, двигаясь равномерно. Скорость, которую оно должно иметь в этом случае, и есть средняя скорость.
Это понятие было новым во времена Галилея. Еще менее ясным казалось тогда представление об ускорении и вызывающей его причине.
Что свободное падение есть равномерно ускоренное движение, было замечено еще древними философами. В средние века Леонардо да Винчи также отметил ускоренный характер свободного падения. Он даже высказал мнение, что скорость свободно падающего тела возрастает в арифметической прогрессии, но не сделал из этой гипотезы выводов.
Галилей первый объяснил причину ускорения свободно падающего тела. Он понял, что сила тяжести в каждое мгновение сообщает телу движение, сохраняющееся по инерции. Значит, под влиянием силы тяжести скорость свободного падения должна непрерывно увеличиваться.
Изучая движение падающих тел, Галилей предположил, что ускорение постоянно, то-есть увеличение скорости одинаково за каждую секунду.
«Приращение скорости мы проще всего можем представить себе, — писал он, — как происходящее в соответствии с такими же равными промежутками времени. Умом своим мы можем признать такое движение единообразным и неизменно равномерно ускоряющимся».
Сделав такое предположение, Галилей мог уже теоретически вывести законы свободного падения тел.
Из постоянства ускорения следовало, что под действием силы тяжести скорость падающего тела возрастает пропорционально времени. А вычислив среднюю скорость, легко найти и пройденное телом расстояние.
Сделав эти выводы, Галилей писал в «Диалоге»: «Вы должны уже знать, что тяжелое тело, падая и приобретая все новую скорость… обладает в любом месте на линии своего движения такой степенью скорости, что если бы оно продолжало двигаться далее равномерно, не увеличивая более скорости, то за промежуток времени, равный тому, какой оно потратило на падение, оно прошло бы пространство, вдвое большее против пройденного»[6].
Галилей вывел законы свободного падения, предположив, что это — равномерно ускоренное движение.
Но таково ли оно в действительности?
Подтвердить предположение Галилея и справедливость его законов мог только опыт.
Проверка опытом законов падения
Как же можно было проверить законы Галилея на опыте? Нельзя же заметить, какое расстояние пролетает свободно падающее тело в первую, вторую, третью и так далее секунду. С большим трудом, и не очень точно, можно было, пожалуй, лишь установить время, в течение которого падающее тело проходит расстояние от вершины башни до земли.
Галилей избрал, однако, другой путь для проверки теоретически найденных им законов. Он прибег к помощи наклонной плоскости.
Шарик скатывается по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Значит, свободное скатывание шарика по наклонной плоскости должно происходить по тем же законам, как и свободное падение. Скорость же скатывания можно сколько угодно уменьшить, изменяя угол наклона плоскости.
Пуская шарик по наклонной плоскости, можно было измерить время, необходимое шарику, чтобы скатиться до ее основания. Длина наклонной плоскости известна. Значит, можно было вычислить, каково ускорение скатывания по наклонной плоскости.
Для опытов Галилей взял доску длиной двенадцать локтей, конец которой был приподнят только на один-два локтя. Посередине доски был простроган узкий желоб, выстланный очень гладким пергаментом для уменьшения трения. По желобу скатывались бронзовые шарики, пускавшиеся Галилеем. Время измерялось водяными часами, то-есть по количеству воды, успевавшей вытечь из верхнего сосуда в нижний.
Сперва шарик был пущен с верхнего конца желоба. Когда он докатился вниз, Галилей заметил по водяным часам, сколько понадобилось ему на это времени.
По закону, выведенному теоретически Галилеем, расстояние, пройденное свободно падающим телом, увеличивается пропорционально квадрату времени. Следовательно, в четыре раза более короткий путь шарик должен пройти во вдвое более короткий промежуток времени. Пустив шарик с верхнего конца четвертой части длины желоба, Галилей убедился, что для этого расстояния шарику действительно понадобилось только вдвое меньше времени.
Опыт Галилея со скатыванием шариков по наклонной плоскости.
Так было доказано, что скатывание по наклонной плоскости подчиняется закону, выведенному для свободного падения. Значит, предположение Галилея, что ускорение свободного падения постоянно, справедливо.
Пользуясь наклонной плоскостью, можно было определить ускорение скатывания по ней. Для этого достаточно только заметить время, в течение которого шарик проходит всю ее длину.
Галилей хотел из этого опыта определить ускорение свободного падения. Он не знал, что вращение шарика очень усложняет эту задачу, которая могла быть решена таким путем только после открытия законов вращения тел.
Вот если бы можно было осуществить опыт скольжения тела без трения по наклонной плоскости, то такая задача не представила бы затруднений.
Допустим, что тело, скользящее по наклонной плоскости, прошло длину ее l за t секунд. Тогда l = at2/2, где a — ускорение скольжения.
Из закона наклонной плоскости следует, что сила, действующая вдоль нее, во столько раз меньше силы тяжести, во сколько высота ее меньше длины. Поэтому ускорение свободного падения легко было бы определить, зная ускорение скользящего тела.
Галилей изучал движение падающего тела кинематически, то-есть только с геометрической стороны. Он не принимал во внимание силы тяжести, сообщающей телам движение. Самое понятие о силе еще было неясным. Галилей часто называл причину, вызывающую движение, «импульсом» — слово, обозначающее в современной механике произведение силы на время (равное количеству движения). Но открытие кинематических законов движения падающих тел все-таки позволило Галилею решать практические задачи техники, например баллистики — науки о движении пушечных ядер.
6
Расстояние, пройденное телом на промежуток времени