Практически в каждой книге, в которой рассматривается применение аппарата линейного программирования, излагается теория двойственности. Её смысл сводится к тому, что для одной задачи ЛП, называемой прямой, по определенным правилам можно построить другую задачу ЛП, называемую двойственной, и решения обеих задач будут связаны вполне определенным образом. По отношению к задаче (2) двойственная задача записывается так:
(E - A T)P = rЗСТ«= r
P »= 0 .............................(3)
Найти Max(Y), Y =FD1P1 + FD2P2 +… +FDnPn
Известна теорема (тоже примерно с начала 1950-х гг.): если в оптимальном решении прямой задачи неравенство «№ к» выполняется как строгое (т.е. имеет место выполнение условия «»» или ««» вместо возможного равенства или неразрешимости задачи), то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю. Эта теорема часто сопровождается её экономическими интерпретациями, смысл которых сводится к следующему: ecли ресурс «№ к» в прямой задаче имеется в количестве, превышающем оптимально используемый объем, то он становится свободным ресурсом, а его оптимальная цена обращается в ноль. Это - общеизвестное в мировой экономической литературе утверждение: см., например, Ю.П.Зайченко “Исследование операций”, Киев, «Вища школа», 1979 г. - рядовой вузовский учебник; “Математическая экономика на персональном компьютере” под ред. М. Кубонивы, пер. с японского, М., «Финансы и статистика», 1991 г. - ликбез-справочник. Однако, несмотря на давность и общеизвестность экономических интерпретаций теории двойственности ЛП такого содержания, более чем за сорок лет экономическая наука не сделала единственно возможного вывода из теории двойственности ЛП в ее экономических приложениях. Предположим, что задача ЛП (2) решается в условиях:
(E - A)X = F »= FD »= FОБЩЕСТВЕННО НЕОБХОДИМОЕ ПО МАКСИМУМУ
Предположим, что такое решение существует. То есть все неравенства прямой задачи выполняются как строгие. Это означает, что в силу приведенной теоремы все переменные Р 1 , …, Р n в решении двойственной задачи принимают нулевые значения. Поскольку переменные двойственной задачи (3) уже более 40 лет интерпретируются в экономике как цены, то в случае идеального устойчивого управления макроэкономической системой как целостностью, когда она заведомо удовлетворяет все запросы в продукции, должно иметь место полное обнуление прейскуранта. В терминах теории управления это означает, что по отношению к макроэкономической системе ее внутренний номинальный прейскурант (вектор Р в задаче ЛП 3) является вектором ошибки управления; вектором ошибки саморегуляции.
Но двойственную задачу ЛП 3 можно также рассматривать, как прямую. В этом случае прежняя прямая задача (2) становится двойственной по отношению к новой прямой задаче, И приводившаяся теорема справедлива уже в отношении новой пары прямой и двойственной задач (3 - 2). Она также находит свою экономическую интерпретацию;
Если технологический процесс «№ к» оказывается строго невыгодным с точки зрения оптимальных цен, то в оптимальном решении прежней прямой задачи интенсивность использования соответствующего технологического процесса должна быть равна нулю.
Такая интерпретация допустима по отношению к любой частной фирме, использующей аппарат линейного программирования для выбора ею из многих технологий какого-то набора, на основе которого планируется вести производство впредь. Но попытка интерпретировать задачу ЛП 3 - 2 на уровне макроэкономической системы таким образом приводит к утверждениям, подобным следующему: если в феврале тарифы на коммунальные услуги не позволяют окупить обогрев жилья в городах, а платежеспособности населения не хватает, чтобы оплатить их по рентабельным тарифам, то дома отапливать не следует [1].
Это - один из примеров, который показывает несостоятельность применения категории «рентабельность» и с нею связанных по отношению к микроэкономической системе как целостности, поскольку людей интересуют реальные спектры производства и потребления, порождаемые этой целостностью, а не рост валового национального продукта в текущих ценах на фоне распада целостности.
На уровне макроэкономической системы это означает, что, если одна из общественно необходимых и незаменимых отраслей нерентабельна при достигнутой ею культуре производства - например, сельское хозяйство России, - то, поскольку культура производства во всякое историческое время - объективная данность, «нерентабельность» незаменимой отрасти - выражение вредительства и некомпетентности на иерархическом уровне макроэкономической системой в целом, хотя безусловно наращивать культуру производства необходимо во всех отраслях.
Поэтому, если прямая задача (E - A)X = F »= FD интерпретируется как поиск оптимального в смысле минимума затрат вектора валовых мощностей народного хозяйства, при котором спектр производства конечной продукции будет не менее F n то ясно, что, если производство исходит из потребностей. то настройка кредитно-финансовой системы должна обеспечивать выгодность производства необходимого обществу продукта при достигнутом уровне культуры производства и должна позволять культуре производства расти впредь.
Чтобы это обеспечить, необходимо иначе интерпретировать макроэкономический смысл ограничений двойственной задачи:
(E - A T)P = rЗСТ«= r
Введем в неё в явном виде вектор валовых мощностей отраслей как диагональную матрицу Х = ЕХ.
X (E - A T)P = X rЗСТ«= X r
И, таким образом, дело сводится к экономической интерпретации, т.е. соизмерению вектора г, входящего в критерий оптимальности прямой задачи Min (r X) и входящего в качестве вектора свободных членов в ограничения двойственной задачи.
XrЗСТ для каждой отрасли распадается на функционально обусловленные расходы: заработную плату, амортизационные фонды, фонды реконструкции и развития производства, налоги и т.п. То есть в правой части после знака неравенства стоят своего рода «ножницы», срезающие либо всю совокупность этих фондов, либо только какую-то часть их при вычитании из правой и левой частей сумм ограничений остальных фондов. Иными словами, вектор r - спектр управляющего сигнала по отношению к макроэкономической системе в его финансовом выражении.