Пуанкаре был в прекрасных отношениях с самим Бутру, который был женат на его сестре, часто бывал в их доме и питал особую симпатию к их сыну, талантливому молодому математику Пьеру Бутру. Но это не мешало ему публично выступать, и неоднократно, против идеалистических философских доктрин Эмиля Бутру.
Пуанкаре оказался прав, отдавая должную дань роли интуиции в математике и говоря о невыполнимости основной задачи логицизма — сведении математики к логике. Подход логицистов к математике был типично идеалистическим: все многообразие развития диалектически противоречивого реального мира они пытались втиснуть в прокрустово ложе формально логических принципов. Эта программа принципиально не могла быть реализована. Но прежде чем логицисты действительно столкнулись с неразрешимыми трудностями, Пуанкаре своей критикой уже развенчал их идеи[115].
Борьба Пуанкаре против логицизма имела еще одно последствие. Она нанесла серьезный удар по логическому позитивизму, одной из опаснейших разновидностей неопозитивизма. Дело в том, что представители логического позитивизма, исходя из основных идей логицистов, пытаются свести философию к логике. Сущность философии, как заявлял Рассел, это формальная логика, и вообще, философия не отличима от логики И. С. Нарский справедливо подчеркивает, что основная идея логицизма — сведение математики к логике — для Рассела соответствовала отрицанию «роли математики, как науки о количественных и пространственных соотношениях объективного мира»[116]. Что же касается проводимого Расселом по аналогии сведения философии к логике, то подобная попытка превращала «философию в науку о формальных преобразованиях чувственного «материала» познания, что уже соответствовало идеям неопозитивизма»[117]. Поэтому выступления Пуанкаре против приверженцев логицизма имели значение не только для самой математики, но и для философии, для критики современного неопозитивизма. «Выступления Пуанкаре с критикой логицизма, поддержанные Бутру, Мейерсоном, Бреншвигом, имели важнейшее значение для ориентации французской философии. Они преградили в ней дорогу неопозитивизму, одним из источников которого был именно логицизм. В этом заключается позитивное философское значение антилогистской позиции А. Пуанкаре, поскольку она была одновременно направлена против той идеалистической интерпретации, которую давали логицизму Рассел и Уайтхед»[118].
На раннем этапе своего научного творчества Пуанкаре весьма доброжелательно встретил канторовскую теорию множеств. Будучи молодым преподавателем Сорбонны, он участвовал в переводе на французский язык основополагающих работ Кантора и даже применял отдельные положения его теории в своих исследованиях по автоморфным функциям, по общей теории аналитических функций. Но в начале XX века Пуанкаре становится ярым противником теории множеств. Это сказалось на общем отношении к ней в среде математиков. Даже много лет спустя, в 1927 году, Д. Гильберт сетовал на то отрицательное влияние, которое оказали взгляды знаменитого французского ученого на научный престиж теории множеств: «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определенное предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором»[119]. Но «предубеждение» Пуанкаре имело под собой довольно веское основание.
Как и многие другие математики, высшим критерием полноценности математической теории Пуанкаре считал ее непротиворечивость. Но как раз на рубеже двух веков в теории множеств выявились вопиющие противоречия, к которым приводят совершенно правильные в логическом отношении рассуждения. Именно эти неразрешимые парадоксы оттолкнули Пуанкаре от этой теории. Он отказывал ей в праве на существование, поскольку отдельные ее положения противоречили друг другу. Впрочем, Пуанкаре был не одинок в своем категорическом подходе к этому вопросу. Не мало было в те годы предложений избавить математику от разрушительных катастроф, вызванных парадоксами теории множеств, отказавшись от самой теории.
Пуанкаре выступал против трансфинитных чисел, введенных Кантором, против аксиоматики Цермело, против теории типов Рассела, критиковал непредикативные определения в математике. Аксиома Цермело, выдвинутая автором в 1904 году, привлекла особое внимание математиков. Ей посвящались и посвящаются многие сотни работ, включая целые книги. И это не случайно. Поскольку эта аксиома выбора связана с более фундаментальными положениями математики, чем аксиома параллельности в геометрии, то непринятие ее привело бы к гораздо более глубокой перестройке традиционных представлений.
115
Подробнее анализ взглядов Пуанкаре на роль интуиции в математическом познании, характеристика воздействия Пуанкаре на становление математического интуиционизма см. в работе: Панов М. И. Анри Пуанкаре как предшественник интуиционизма в учении о математической интуиции// Некоторые философские вопросы физики и математики. — Краснодар, 1971 — С. 112–136.