Легко заметить, что в трудовой технике система трех прямоугольных координат тысячи миллионов раз осуществлялась раньше того, как ее сделали схемою геометрического исследования. Она в точности воспроизводится каждым углом каждого четвероугольного здания и ящика, – следовательно, является прежде всего элементарной схемою построек. А метод полярных координат применялся практически еще первобытным охотником, когда он искал себе дорогу в девственных лесах или степях, ориентируясь по солнцу и звездам. Он инстинктивно определял направления, основываясь на величине углов между своими лучами зрения, обращенными к солнцу, к горизонту, к знакомым звездам, к далеким горам и т. п.; а эти углы геометрически представляют не что иное, как элементы полярных координат.
Аналитическая алгебра основана на счислении бесконечно-малых величин. Понятие о бесконечно-малых возникло еще в классической древности: и, однако, античный мир, давший не мало гениальных математиков, не создал дифференциального и интегрального счисления. Почему так случилось? Ближайшую причину отыскать легко: по различным замечаниям древних философов с несомненностью можно видеть, что бесконечно-малые, равно как и бесконечно-большие, внушали им своеобразное отвращение. Авторитарно-аристократическому миру присуще консервативное направление мысли, тяготеющее к устойчивому, неизменному, неподвижному; а символы «бесконечных» выражают непрерывное движение в ту или иную сторону, неограниченный прогресс возрастания величин или углубления в них; чувство противоречия тут являлось вполне естественно. – Веке же в XVI, XVII, хотя уважение ученых к древней философии было очень велико, не только исчезло это отвращение, что можно объяснить подрывом феодально-авторитарного строя, а с ним консерватизма жизни и мысли, – но оно сменилось величайшим интересом к бесконечно-малым, и породило новую математику. Откуда же взялся такой интерес?
Идея бесконечно-малой имеет своим содержанием, как известно, лишь стремление неограниченно уменьшать какую-либо данную величину. И вот, именно с XV–XVI века, такое стремление возникло в самой технической практике и стало чрезвычайно важным для нее. То была эпоха зарождения мировой торговли, опирающейся на океаническое мореплавание, и эпоха первого распространения мануфактуры. Для мореплаванья огромное значение приобрела точность ориентировки, для промышленности – точность производства инструментов. Минимальная ошибка в линии курса при путешествиях на тысячи верст по великим водным пустыням угрожала не только усложнением и замедлением трудного пути, но зачастую даже гибелью всей «транспортной мануфактуры» – корабля с его экипажем. Стремление уменьшить эту ошибку до практически-ничтожной стало жизненно-насущным. – В мануфактуре также минимальные ошибки и неточности в инструментах приобрели большое реальное значение, благодаря доведенному до высокой степени техническому разделению труда. Если в ремесленной мастерской работнику, выполняющему свое дело при помощи целого ряда различных орудий приходилось каждым из них сделать несколько десятков движений в час, а то и меньше, то в мануфактуре, оперируя все одним и тем же инструментом, рабочий производит с ним тысячи однообразных движении за такое же время. Неуловимая для глаза погрешность в устройстве орудия, оказывая свое влияние тысячи и тысячи раз, производит весьма заметное ухудшение в результатах работы – в количестве продуктов, в степени утомления работника и т. д. Всякую неровность и асимметрию инструмента требуется уменьшать насколько это возможно, не удовлетворяясь окончательно никакой достигнутой степенью, т. е. именно требуется сводить к бесконечно-малой величине. Понятно, что античное, презрительное отношение к бесконечно-малым должно было исчезнуть, и смениться живым интересом: новые мотивы, чуждые древнему миру, были порождены новой социально-трудовой практикой.
Насколько интенсивен был этот интерес, показывают те огромные усилия, которые тогда делались для созидания мощных увеличивающих инструментов. Приготовлялись неуклюжие астрономические трубы футов во 100 и более длины: а одна из луп Левенгука увеличивала в 2000 раз. Видеть в нее, конечно, нельзя было почти ничего, благодаря темноте поля зрения; и весь тяжелый труд, на нее потраченный, имел, в сущности, лишь символический смысл – выражал стремление, так сказать, глазами уловить бесконечно-малые.