Открытия Пуанкаре и тех, кто пришел после него, обнаружили, что различия в нескольких знаках после запятой могут определить, упадет ли кость шестеркой или двойкой. Хотя возможных исходов броска игральной кости существует всего шесть, начальные данные могут варьироваться в потенциально непрерывном диапазоне значений. Тогда, очевидно, должны существовать точки, в которых чрезвычайно малое изменение переключает результат броска с шестерки на двойку. Но какова природа таких переходов?
Компьютерные модели могут производить прекрасные визуальные представления, позволяющие составить понятие о чувствительности различных систем к начальным условиям. Рядом с игральной костью из Лас-Вегаса у меня стоит классическая настольная игрушка, в которую я могу играть часами. Она состоит из металлического маятника, который притягивают три магнита, выкрашенные в белый, черный и серый цвет. Анализ динамики этой игрушки дает картинку, которая отражает конечное положение маятника при движении из всех точек квадратного основания игрушки. Покрасим точку белым, если маятник, запущенный из этой точки, в конце концов оказывается притянут к белому магниту. Точно так же покрасим серым или черным точки, из которых маятник попадает на серый или черный магнит. Получится вот такая картинка:
Как и в случае популяционной динамики, тут есть совершенно предсказуемые области. Если движение маятника начинается вблизи одного из магнитов, к этому магниту маятник и притягивается. Но по мере приближения к краям картинки мы оказываемся на гораздо менее предсказуемой почве. И действительно, такая картинка дает нам пример фрактала.
На ней есть участки, на которых не существует простого перехода от черного к белому. Если увеличивать изображение, картинка никогда не станет областью, заполненной одним цветом. Сложность рисунка сохраняется на всех масштабах.
Одномерный пример такой картинки можно соорудить следующим образом. Начертим отрезок единичной длины и для начала закрасим одну его половину черным, а другую – белым. Затем возьмем половинный участок между точками 0,25 и 0,75 и перевернем его. Теперь возьмем половину перевернутого участка, расположенную в его середине, и перевернем ее еще раз. Если повторять эту операцию до бесконечности, предсказанное поведение вокруг точки 0,5 становится чрезвычайно чувствительно к малым изменениям. Не существует такого участка, содержащего точку 0,5, который был бы закрашен одним цветом.
Существует более замысловатый вариант этой картинки. Возьмем снова отрезок единичной длины. Сотрем центральную треть отрезка. У нас остались два черных отрезка, разделенные белым промежутком. Сотрем теперь центральную треть каждого из черных отрезков. Получаем черный отрезок длиной 1/9, белый отрезок длиной 1/9, черный отрезок длиной 1/9, затем белый отрезок длиной 1/3, который был стерт на первом шаге, а потом опять: белый – черный – белый.
Вы, наверное, уже догадались, что нужно сделать дальше. На каждом шаге мы стираем центральную треть всех черных отрезков. И так до бесконечности. Полученная картинка называется канторовым множеством по имени немецкого математика Георга Кантора, с которым мы еще встретимся на последнем «рубеже», когда будем рассматривать то, что мы знаем о бесконечности. Предположим, что такое канторово множество определяет конечное положение маятника в моей настольной игрушке. Перемещая маятник вдоль этой линии, я выясняю, что на некоторых участках такая картинка предсказывает чрезвычайно сложное поведение.
Довольно странный расчет показывает, что суммарная длина стертой линии равна 1. Но внутри отрезка по-прежнему остаются черные точки: точка с координатой 1/4 не будет стерта никогда, так же как и точка 3/10. Однако такие черные точки не изолированы. На любом участке, окружающем черную точку, всегда находится бесконечно много черных и белых точек.
Как выглядит динамика игральной кости? Фрактальна ли она и, следовательно, непознаваема? Сначала я предположил, что поведение кости должно быть хаотичным. Однако недавние исследования обнаружили нечто неожиданное.
Знай свою кость
Недавно группа польских исследователей проанализировала бросок игральной кости с математической точки зрения и, используя высокоскоростную киносъемку, выяснила, что наша кость может быть не столь хаотичной и непредсказуемой, как мы опасались. В эту исследовательскую группу, работающую в Лодзи, входят отец с сыном Томаш и Марцин Капитаняки, а также Ярослав Стржалко и Юлиуш Грабский. В своей статье, опубликованной в журнале Chaos в 2012 г.[30], группа приводит картинки, сходные с полученной для магнитного маятника, но с более сложными начальными положениями, которые учитывают угол, под которым был брошен кубик, а также его скорость. Поведение кости можно считать предсказуемым, если в большинстве точек получившейся картинки кость падает той же стороной при малом изменении начальных условий. Такую картинку, например, можно раскрасить в шесть цветов, соответствующих шести граням кубика. Картинку можно считать фрактальной, если при любом увеличении масштаба по-прежнему можно видеть области, содержащие по меньшей мере два цвета. Если таких признаков фрактальности не видно, то поведение кости предсказуемо.