Разумеется, для любого практического применения таких чисел мне, вероятно, хватит и приближения, выраженного дробью. Большинство инженеров вполне успешно использует вместо числа π его оценку 22/7, которую Архимед получил путем приближения окружности 96-сторонним правильным многоугольником. Собственно говоря, чтобы вычислить длину окружности размером с наблюдаемую часть Вселенной с точностью, сравнимой с размерами атома водорода, достаточно знать всего 39 знаков π. Существует даже формула, позволяющая узнать значение миллионного знака π без вычисления всех предшествующих ему знаков. Не то чтобы мне так уж хотелось их знать. Но такая формула позволяет достичь лишь конечного знания числа, полное познание которого требует бесконечности.
Из открытия таких чисел, по-видимому, следовала бесконечная делимость пространства. Только бесконечное деление пространства может позволить мне точно измерить размеры моего простого кубика. В результате этого открытия мнение Аристотеля о непрерывности материи оставалось на Западе господствующим вплоть до эпохи Возрождения.
Гармония маленьких сфер
Благодаря научным открытиям, сделанным поколением Ньютона и после него, произошел новый разворот в сторону мнения о том, что Вселенная построена из неких элементарных кирпичиков. Пожалуй, первым в аристотелевском видении материи, господствовавшем почти 200 лет, усомнился современник Ньютона Роберт Бойль. В своей книге «Химик-скептик» Бойль попытался опровергнуть идею о том, что материя составлена из четырех «стихий» – огня, земли, воздуха и воды. Такое описание, возможно, хорошо отражает состояния материи, но не ее составляющие.
Взамен он предложил новый список химических элементов. Более того, он высказал утверждение, по тем временам довольно сильно попахивавшее ересью. Он считал, что такие элементы представляют собой миниатюрные тела, или атомы, различающиеся лишь «размером, видом, текстурой и движением». С точки зрения теологии такая идея казалась опасной; Церковь, всегда предпочитавшая воззрения Аристотеля, увидела в ней признаки опасно материалистического видения мира. Кое-кто объявил Бойля Галилеем химической революции.
Хотя Ньютон был согласен с тезисом Бойля о том, что материальный мир состоит из неделимых элементов, те математические инструменты, которые Ньютон разрабатывал одновременно с работой Бойля, в сильной степени основывались на бесконечной делимости времени и пространства. Математический анализ, позволяющий сделать моментальный снимок непрерывного потока развития Вселенной, имеет смысл только в качестве процесса, в котором пространство делят на все меньшие и меньшие фрагменты и интерпретируют то, что происходит в пределе бесконечного уменьшения таких фрагментов.
Вопрос о бесконечной делимости времени и пространства возбуждал философские дискуссии еще со времен древнегреческого мыслителя Зенона Элейского, сформулировавшего парадоксы, которые, по-видимому, следовали из такого деления пространства. Например, Зенон утверждал, что стрела никогда не сможет долететь до цели, потому что она должна сначала преодолеть половину расстояния до цели, потом половину оставшегося расстояния, потом половину вновь оставшегося расстояния и т. д., так что достижение цели потребовало бы бесконечного числа таких перемещений. Успех ньютоновского математического анализа вновь возродил обсуждение этой проблемы. Некоторые все еще считали такую бесконечную делимость почти что ересью.
Епископ Беркли посвятил целый трактат под названием «Аналитик» доказательству абсурдности попыток деления на ноль. Его направленность была ясно выражена в подзаголовке «Рассуждение, адресованное неверующему математику»[35].
Хотя другие неверующие математики быстро осознали могущество математического анализа, остальные открытия самого Ньютона подтверждали предположение о том, что, даже если пространство и время можно делить бесконечно, к материи это не относится. Его идея мира, составленного из неделимой материи, со временем стала господствующей теорией устройства Вселенной. Но в тот момент она все еще оставалась просто одной из теорий, мало чем подтвержденной.
35
Полагают, что «неверующим математиком» Беркли в основном считал Эдмунда Галлея (именем которого названа комета): Ньютон умер еще в 1727 г.