4. Наличие обратного элемента.
Для любого элемента х группы существует элемент x' такой, что
Изометрия — это геометрическое преобразование, оставляющее неизменным расстояния между элементами множества. Иными словами, изометрия — это «жесткое» перемещение, которое не деформирует множество. Примерами изометрии на плоскости являются поворот вокруг точки, параллельный перенос и осевая симметрия (отражение). Изометрией также считается скользящая симметрия — контаминация параллельного переноса и осевой симметрии, ось которой параллельна направлению переноса.
ГРУППЫ ЛЕОНАРДО
Группы Леонардо — это группы движений с конечным числом элементов и точкой, положение которой остается неизменным вне зависимости от применяемого движения. Группы Леонардо содержат только повороты и различные виды отражений (зеркальной симметрии).
Существует два вида групп Леонардо. Первый — циклические группы, состоящие из одного поворота на некоторое число градусов, причем 360° делится на это число без остатка. Примером такой группы является С3, содержащая поворот g на 120°. Элементами этой группы являются:
С3 = {Id, g, g2},
где Id — нейтральный элемент.
Группа С3 с обозначенной фиксированной точкой, которая является центром вращения.
Ко второму типу относятся так называемые диэдрические группы, образованные поворотом и симметрией, ось которой проходит через центр вращения. Такие группы обозначаются Dn.
Слева — фигура, инвариантная для D3. Справа обозначены оси симметрии и повороты.
Например, D3 состоит из поворота g на 120° и симметрии s. Элементами этой группы являются:
D3 = {Id, g, g2, s, s°g, s°g2}.
Результат применения к исходной фигуре F движений Id, g и g2.
Результат применения к исходной фигуре F движений s, g°s и g2°s.
Группа D1 образована единственной симметрией.
* * *
Фриз церкви Санта-Мария-Новелла с 15 розами. Каждая имеет различную форму и вписана в квадрат.
(источник: АМА)
Совокупность архитектурных элементов вписана в квадрат, который, в свою очередь, делится на четыре квадрата осью симметрии и верхней границей фриза. Аттик, возведенный над фризом, вписан в квадрат, в четыре раза меньший большого квадрата. Чтобы дополнить композицию и компенсировать разницу высот центрального и боковых нефов, архитектор использовал две треугольные волюты со скругленными краями, в которые вписаны две окружности. Аттик завершается фронтоном, в который вписана окружность с изображением солнца — герб этого района Флоренции. Диаметр центрального отверстия, если считать вместе с окаймлением, в два раза больше диаметра трех окружностей — верхней, расположенной на фронтоне, и двух боковых. В композиции, как можно увидеть невооруженным глазом, доминируют квадраты. Также можно заметить, что несколько раз используется золотое сечение, правда, с меньшей точностью, а также другие соотношения. Например, ширина и высота центрального портала относятся как 2:3.
Некоторые примеры использования золотого сечения.
(источник: FMC)
Использование подобных соотношений (не только золотого сечения) делает проект модульным, что упрощает его реализацию, а также имеет чисто эстетическую функцию, делая гармоничным сочетание различных частей единого целого.
Квадрат, в который вписана волюта, равен 1/16 большого квадрата. Соотношение сторон дверей церкви равно 2:3.
(источник: FMC)
Результат впечатляет: двухцветное здание становится сбалансированным, ритмичным и гармоничным. Заострим внимание на центральном фризе. В нем выделяются 15 квадратов зеленого мрамора, в каждый из которых вписана роза. Если смотреть на здание невооруженным глазом, розы практически незаметны. Сделав снимок телеобъективом, мы сможем восстановить их и подробнее рассмотреть их форму. Они изготовлены из мрамора трех цветов: зеленого, белого и розового.