Что же, геометрически говоря, значит изобразить некоторую реальность?
Это значит привести точки воспринимаемого пространства в соответствие с точками некоторого другого пространства, в данном случае — плоскости. Но действительность по меньшей мере трехмерна, — даже если забыть о четвертом измерении, времени, без которого нет художества, — плоскость только двухмерна. Возможно ли такое соответствие? Возможно ли четырехмерный или, скажем для простоты, трехмерный образ отобразить на двухмерном протяжении, хватит ли в последнем точек, соответственных точкам первого, или, математически говоря: мощность образа трехмерного и таковая же двухмерного могут ли быть сравнимы? — Ответ, естественно напрашивающийся на ум — «Конечно, нет», — «Конечно, нет, ибо в трехмерном образе — бесконечное множество двухмерных разрезов, и, следовательно, мощность его бесконечно больше мощности каждого отдельного разреза». Но внимательное обследование поставленного вопроса в теории точечных множеств показывает, что он не так-то прост, как это представляется с первого взгляда, и более того, что данный выше ответ, по-видимому естественный, не может быть признан правильным. Определеннее: мощность всякого трех- и даже многомерного образа точно такая же, как и мощность любого двух- и даже одномерного образа. Изобразить четырех- или трехмерную действительность на плоскости можно, и можно даже не только на плоскости, но и на любом отрезке прямой или кривой линии. При этом такое отображение возможно установить бесчисленным множеством, как арифметическим или аналитическим, так и геометрических соответствий. Типом первого может служить прием Георга Кантора, а вторых — кривая Пэано или кривая Гильберта [46].
Чтобы пояснить суть этих исследований с их неожиданными результатами возможно проще, ограничимся случаем изображения квадрата со стороною в одну единицу длины на прямолинейном отрезке, равным стороне вышеозначенного квадрата, — т. е. случаем изображения всего квадрата на его собственной стороне; все другие случаи довольно легко могут быть рассмотрены по образцу этого. Так вот, Георг Кантор указал аналитический прием, при помощи которого устанавливается соответствие между каждой точкой квадрата и каждой точкой его стороны: это значит, что если нам определено, двумя координатами x и y, местоположение в любой точке квадрата, то некоторым единообразным приемом мы отыщем координату z, определяющую некоторую точку стороны квадрата, изображение вышеозначенной точки самого квадрата; и наоборот, если указана произвольная точка на отрезке — изображении квадрата, то отыщется и изображаемая этою точкою точка самого квадрата. Таким образом, ни одна точка квадрата не остается неотображенной, и ни одна точка изображения не будет пустой, ничему не соответствующей: квадрат будет отображен на своей стороне. Подобно может быть изображен на стороне квадрата или на самом квадрате — куб, гиперкуб и вообще квадратовидное геометрическое образование (полиэдроид, многоячейник) любого и даже бесконечно большого числа измерений. А говоря общее: любое непрерывное образование любого числа измерений и с любым ограничением может быть отображено на другом любом образовании, тоже с любым числом измерений и тоже с любым ограничением; все что угодно в геометрии может быть отображено на всем что угодно.
С другой стороны, различные геометрические кривые могут быть построены таким образом, что кривая проходит через всякую заданную наудачу точку квадрата, — если вернуться к нашему начальному случаю, — и таким образом устанавливается соответствие точек квадрата и точек кривой геометрически; привести же в соответствие точки этой последней с точками стороны квадрата, как пространств одномерных, уже совсем нетрудно, этим точки квадрата будут отображены на его стороне. Кривая Пэано и кривая Гильберта пред бесчисленным множеством других кривых того же свойства ( — например, пред траекторией биллиардного шара, пущенного под углом к борту, несоизмеримым с прямым; — незамыкающимися эпициклоидами, когда несоизмеримы радиусы обеих окружностей; — кривыми Лиссажу; — родонеями и т. д. и т. д. — ) имеют одно существенное преимущество: соответствие точек двухмерного образа и одномерного ими осуществляется практически, так что соответствующие точки легко находятся, тогда как другими кривыми соответствие устанавливается лишь в принципе, но найти на самом деле, какая именно точка соответствует какой, было бы затруднительно. Не входя в технические подробности кривых Пэано, Гильберта и других, заметим лишь, что своими извивами в духе меандров такая кривая заполняет всю поверхность квадрата, и всякая точка квадрата, при том или другом конечном числе меандризаций этой кривой, систематически накопляемых, т. е. согласно определенному единообразному приему, — будет непременно задета извивами кривой. Аналогичные процессы применимы для отображения, как это разъяснено выше, чего угодно, на чем угодно.
Итак, непрерывные множества между собою все равномощны. Но, обладая одинаковой мощностью, они не имеют одних и тех же «умопостигаемых» или «идеальных» чисел в смысле Г. Кантора, т. е. не «подобны» между собою. Иначе говоря, нельзя отображать их друг в друге, не затрагивая их строения. При установке соответствия нарушается либо непрерывность изображаемого образа ( — это когда хотят соблюсти взаимную однозначность изображаемого и изображения — ), либо — взаимная однозначность того и другого ( — когда сохраняется непрерывность изображаемого — ).
Приемом Кантора образ передается точка в точку, так что любой точке образа соответствует только одна точка изображения, и наоборот, каждая точка этого последнего отображает только одну точку изображаемого. В этом смысле, канторовское соответствие удовлетворяет привычному представлению об изображении. Но другим своим свойством оно чрезвычайно далеко от последнего: оно, как и все другие взаимооднозначные соответствия, не сохраняет отношений соседства между точками, не щадит их порядка и связей, т. е. не может быть непрерывным. Если мы двигаемся весьма мало внутри квадрата, то изображение проходимого нами пути уже не может быть само непрерывным, и изображающая точка скачет по всей области изображения. Невозможность дать соответствие точек квадрата и его стороны; взаимно однозначное и вместе непрерывное, было доказано Томэ, Нетто, Г. Кантором [47], но вследствие некоторых возражений Люрота в 1878 году, Э. Юргенсом [48] было доказано заново. Этот последний опирается на «предложение о промежуточном значении». «Пусть точки P квадрата и P' прямолинейного отрезка соответствуют друг другу; тогда некоторой линии AB квадрата, содержащей точку P, должен отвечать целый, содержащий точку P', связный отрезок на прямолинейном отрезке; следовательно, в силу предположенной однозначности соответствия остальных точек квадрата, им, в окрестности точки P, не может уже соответствовать никакой точки на линии в соседстве с точкою P', откуда ясно и очевидно вытекает невозможность однозначного и непрерывного отображения между точками линии и квадратом». Таково доказательство Юргенса. С другой стороны, соответствие Пэано, Гильберта и т. п. не может быть, как это доказано Люротом, Юргенсом [49] и другими, взаимно однозначным, так что точка линии изображается не всегда одной-единственной точкой квадрата, да вдобавок это соответствие и не вполне непрерывно. Иначе говоря, изображение квадрата на линии, или объема на поверхности, передает все точки, но не способно передать форму изображаемого, как целого, как внутренне определенного в своем строении предмета: передается содержание пространства, но не его организация. Чтобы изобразить некоторое пространство со всем его точечным содержанием, необходимо, образно говоря, или столочь его в бесконечно тонкий порошок и, тщательно размешав его, рассыпать по изобразительной плоскости, так чтобы от первоначальной организации его не осталось и помину, или же разрезать на множество слоев, так что нечто от формы останется, но расположить эти слои с повторениями одних и тех же элементов формы, а с другой стороны, с взаимным проникновением этих элементов друг через друга, следствием чего оказывается воплощенность нескольких элементов формы в одних и тех же точках изображения. Нетрудно за вышеизложенными математическими соображениями услышать найденные, независимо от математики, левыми течениями искусства «принципы» дивизионизма, комплементаризма и т. п., при помощи которых левое искусство разрушало форму и организацию пространства, принося их в жертву объему и вещности.