Как сказано в работе Болдуина и др. [2, с. 439], «ожидаемый результат игрока, который имитирует поведение дилера, прикупает к 16 или меньшей сумме, останавливается при 17 или больше, никогда не удваивает ставок и не разделяет пар, составляет −0,056». Другими словами, дилер имеет перед ним преимущество 5,6 %.
Проиллюстрируем применение таблицы 1 на примере вычисления результата для игрока, имитирующего поведение дилера. Прежде всего заметим, что, если игрок следует этим правилам, игра становится симметричной, за исключением двух ситуаций. Если и игрок, и дилер перебирают, то дилер выигрывает. Будем считать, что у дилера перебор, если он перебрал бы при дальнейшем розыгрыше несмотря на то, что игрок также перебрал и уже потерял свою ставку. Это правило выгодно дилеру. Преимущество, которое оно дает ему, равно вероятности одновременного перебора у игрока и у дилера. Поскольку предполагается, что игрок и дилер используют одну и ту же стратегию, данные таблицы 1 («Вероятности комбинаций дилера») относятся к ним обоим. Тогда полная вероятность перебора у каждого из них равна 0,2836, а вероятность одновременного перебора обоих (в предположении стохастической независимости, которое, строго говоря, неверно, но дает в данном случае достаточно хорошее приближение при почти полной колоде) составляет 0,2836 · 0,2836, то есть связанное с этим фактором преимущество дилера составляет 8,04 %. Второе нарушение симметрии такой игры связано с тем, что если игроку, но не дилеру приходит натуральный блэкджек, игрок выигрывает 1,5 единицы. И в то же время, если натуральный блэкджек приходит дилеру, но не приходит игроку, дилер выигрывает одну единицу. Такое происходит в 4,68 % случаев для каждой из сторон, так что преимущество игрока, связанное с этим фактором, составляет половину этой величины, то есть 2,34 %. Итого, суммарное преимущество дилера равно (8,04 – 2,34) = 5,7 %.
Также интересно вычислить величину преимущества, которое казино имеет перед игроком, никогда не прикупающим к руке, на которой возможен перебор. Отметим прежде всего, что это означает, что для такого игрока все жесткие суммы остановки равны 12. Однако мягкие суммы остановки не определены. В таком случае поставленная задача не имеет смысла. Поскольку в такой формулировке задача бессмысленна, мы будем исходить из предположения, что мягкие суммы остановки равны 17. Как уже было указано выше, мягкая сумма остановки не может быть меньше 17 просто исходя из соображений здравого смысла. Поскольку, как мы знаем, 18 иметь выгоднее, чем 17, мягкая сумма остановки, равная 17, дает игроку большую среднюю долю проигрышей, чем мягкая сумма остановки, равная 18. Мы будем называть игрока, использующего такую любопытную стратегию, «осторожным» или «консервативным».
Мы утверждаем, что заведение имеет перед консервативным игроком преимущество, составляющее от 5 до 8 %. Доказательства этого утверждения проистекают из трех источников. Во-первых, мы провели эксперимент, в котором консервативную стратегию использовали в розыгрыше шести групп по 100 раздач в каждой. Число единиц, проигранных игроком, составило от 13 до 2 со средним значением, равным 7. Это хорошо согласуется с нашим результатом (от 5 до 8 %). Поскольку число раздач, равное 600, было выбрано заранее и без учета результатов предыдущих раздач, к этим данным применимы стандартные формулы математической теории вероятностей. Мы заключаем, что истинное значение преимущества заведения почти несомненно лежит между 3 и 11 %. Во-вторых, мы произвели расчеты (для таких низких жестких сумм остановки их сравнительно легко выполнить без использования компьютера), доказывающие, что истинное значение заведомо меньше 10 %. В-третьих, и это наиболее действенный аргумент, Болдуин и его соавторы оценивают преимущество заведения перед игроком, который останавливается на жестких 12, никогда не удваивает ставок и разделяет только пары тузов и восьмерок, в 4,25 % (мягкие суммы остановки в этой работе не приводятся). Можно показать, что разделение пар тузов и восьмерок добавляет к преимуществу игрока менее 1 %. Поправка на различные мягкие суммы остановки, если она вообще существует, также в целом составляет порядка 1 или 2 %. Таким образом, истинное значение по данным этого источника лежит в диапазоне от 5 или 6 до 8 %.
Забавную иллюстрацию невыгодности такой консервативной игры дает опыт «человека, который остриг своего парикмахера»[24], моего друга Джона Блаттнера, профессора математического факультета Колледжа штата в долине Сан-Фернандо[25].
24
Как мы увидим, эта история не лишена математической иронии. Следует объяснить читателю, далекому от математики, что речь идет о знаменитом парадоксе Бертрана Рассела. Предположим, что в некоем городке есть парикмахер, который стрижет тех, и только тех, кто не стрижет себя сам (предполагается, что каждого человека всегда стрижет один и тот же человек). Кто стрижет парикмахера? Если парикмахера стрижет кто-то другой, то парикмахера должен стричь парикмахер. Невозможно! Если же парикмахер стрижет себя сам, то парикмахер не может стричь парикмахера. Невозможно! Так кто же стрижет парикмахера?