Вообще-то Григорий Борисович был за то, чтобы ввести должность старосты кружка, но большинство ребят были против введения формальных должностей, и на заседаниях председательствовали старшие кружковцы, они же и проводили всю подготовку к ним... Григорий Борисович сидел за задним столом и слушал Петин доклад.
- ... таким образом можно сказать, что системой счисления называется способ записи чисел, а также система их названий и правил, лучше сказать алгоритмов, действий над ними... - Петя говорил свободно, лишь изредка заглядывая в свой конспект, подготовленный на компьютере.
А приятно, чёрт возьми, слушать своего ученика... Пришёл Петя на кружок семиклассником в тот год, когда школа открылась, и вырос вместе с ним.
- ... какой системой счисления пользовались первобытные люди? Каждое число обозначалось соответствующим количеством зарубок или палочек, а на первых порах - загнутых пальцев. В такой системе счисления существуют простейшие правила сложения и вычитания чисел, я их сейчас продемонстрирую, записываем первое слагаемое, рядом приписываем второе, и оказывается, что сумма уже записана.
Вычитание производится аналогично. Можно придумать и правило умножения, но оно получится очень сложным, хотя такого действия первобытные люди не знали, как и деления. Интересно, что такая система счисления существует в цирке, ей пользуются "ученые" собаки, сколько раз собака пролает, такое и число. Я так и назвал эту систему счисления - "собачья", - слушатели усмехнулись, кто-то слегка рассмеялся, но Петя, кажется, рассчитывал на больший эффект, - Каковы достоинства данной системы и каковы её недостатки? К достоинствам надо отнести предельную простоту простейших математических действий, да и простоту записи чисел. А что касается недостатков, то их довольно много: во-первых, сложности при проведении более сложных действий, - при этом Слава Овсов значительно усмехнулся и что-то сказал громким шепотом, - во-вторых, запись даже не очень больших чисел достаточно громозкая, хотя первобытные люди не использовали чисел, больших десяти. И в третьих, в "собачьей" системе счисления отсутствует система названий произвольных чисел! Это очень важно...
В этом месте докладчик слегка передохнул, заглянул в свой конспект и продолжил с новой силой:
- Несколько усовершенствованной системой счисления по сравнению с вышерассмотренной является римская. Главным её преимуществом является гораздо более компактная запись чисел. Кроме того сделана попытка систематизации названий чисел. Однако, отсутствуют чёткие правила математических действий, в этом, пожалуй, римская система даже хуже "собачьей". Попробуйте в римской системе разделить или умножить два числа... Огромным прорывом явилось изобретение позиционной системы счисления в древней Индии, дошедшее до Европы через арабов, вернее из перевода с арабского на латынь трудов Аль Хорезми (он кстати не был арабом, хотя и жил в Багдаде, а происходил из города Хорезма на территории нынешнего Узбекистана)...
Григорий Борисович слушал докладчика и следил за реакцией ребят. В целом выступление Пети ему понравилось. Немало, видно, литературы перелопатил. Но ведь и творчески подошёл, какое это он первобытной системе счисления название придумал, "собачья", хотя в литературе она называется по другому, "единичная", до чего докладчик, кажется, не докопался! Когда Петя употреблял неудачные слова или обороты речи, ошибался, учитель переживал, как если бы сам был докладчиком.
Но критиковать всегда просто!
Был, на взгляд Григория Борисовича, в докладе и ряд спорных моментов, да пожалуй и ошибок, и неточностей, но надо дослушать до конца, потом будет обсуждение.
Было видно, что кто-то из ребят хотел что-то возразить докладчику, поспорить с ним, но перебивать нельзя, а замечания свои чтоб не забыть лучше записать, что многие и делали.
- Давайте поближе познакомимся с самой простой позиционной системой счисления, с двоичной...
Доклад длился уже минут двенадцать, то есть перевалил середину, согласно твердому регламенту - двадцать минут. Больше слушать тяжело, публика начинает засыпать. Петя время от времени поглядывал на часы.
- Давайте составим таблицу умножения и таблицу сложения в этой системе: ноль плюс ноль - ноль, ноль плюс один - один, один плюс ноль - один, один плюс один - десять, по записи, конечно.
В этом месте произошло оживление среди младших ребят, и Петя подробно объяснил им, почему один плюс один будет десять. С таблицей умножения разобрались быстрей, и для передышки докладчик предложил слушателям попрактиковаться в производстве различных математических действий и перевода чисел из десятичной системы в двоичную и обратно. На это ушло минут десять, зато все передохнули, и Петя, таким образом смог продлить своё время.
- ... основание два при всех своих плюсах очень мало, запись чисел очень громозкая, хотя, разумеется, и не такая, как в "собачьей". Какое же основание позиционной системы счисления можно считать наиболее удачным? Как я уже сказал, наше основание десять, возникло по числу пальцев на человеческой паре рук, то есть случайно. Не надо быть великим математиком, чтоб увидеть недостатки этого основания, более удобным было бы восемь или шестнадцать, как числа вида два в степени эн...
Да неплохой доклад получился, но вот он и кончается. Григорий Борисович записал себе в кружковую тетрадь, что на одном из ближайших занятий надо практически поработать с разными системами счисления, в первую очередь с восьмеричной и шестнадцатеричной, составить для них таблицы сложения и умножения, правила перевода чисел из системы в систему.
- ... в компьютерах используется запись информации двоичным способом, то есть с помощью двух устойчивых состояний, это, пожалуй, главное приложение двоичной системы счисления, хотя, строго говоря, система счисления там десятичная, но цифры и все символы записаны двоичным кодом...
Тут можно было бы сказать и почётче...
- Вот, собственно и всё, что я подготовил по данной теме. Какие есть вопросы?
Григорий Борисович посмотрел на часы:
19 часов 15 минут.
Первый вопрос задал Слава Овсов: какой литературой пользовался докладчик, и остался недоволен ответом. Две-три книги, по его мнению, совершенно недостаточно для такого серьезного доклада. И вообще, к таким выступлениям надо готовиться серьезней, вот когда он учился в школе...
Дима Шевелюров, как председатель прервал Славу. Если ему есть что сказать, то будут прения по докладу, а пока только вопросы. Вопросов было немало, например, почему десятичную систему, раз она нехороша, не заменят на другую?
- Решить на какую заменить непросто, - ответил Петя, - да и что-либо изменить почти невозможно. Действительно, как быть с огромным количеством написанных тысячами людей книг. Хотя, с другой стороны, подобные реформы случались не раз, и в различные сочинения вносились поправки... Например, летоисчисление от Сотворения мира заменили на от Рождества Христова, кажется не безошибочно... А если заменить десятичную систему на восьмеричную, то ведь и юбилеи справлять надо будет не через сто, а через шестьдесят четыре года, а вместо тысячелетия будет пятьсот двенадцать лет... Уж лучше старую, десятичную сохранить, не такая она плохая, за тысячу двести лет мы к ней уже привыкли!
Маша спросила, как в древнем Риме делили и умножали? На этот вопрос Петя ответить не смог. А кто его знает, как, может римляне и не знали таких действий...
Было ещё два-три вопроса. Потом Дима предложил всем желающим высказаться по обсуждаемой теме. Прения - самая интересная часть заседания. Слово было предоставлено Славе.
- Я бы хотел отметить ошибочность некоторых положений доклада. Во-первых, я не согласен с докладчиком в том, что в "собачьей", как он выразился системе счисления (а на самом деле она называется единичной, больше надо читать) нет, вернее нельзя придумать простых алгоритмов для всех арифметических операций.