Это противоречит условию сплошности. Размеры выше бесконечно малых размеров.
__
Теперь, введем строгое различие между напряжениями по площадкам и главными напряжениями по главным площадкам.
Ориентацию в пространстве кубического элемента главных площадок предстоит найти и предстоит найти главные напряжения.
__
Выделим кубический элемент со сплошными размерами в стенке сосуда. ПРОБЛЕМА. Ориентация в пространстве этого кубического элемента будет произвольной даже в том случае, если для цилиндрической оболочки мы направим его оси параллельно прямой образующей цилиндра.
Мы не знаем направление главных напряжений и ориентацию площадок с главными напряжениями.
Условно посмотрим на кубический элемент «в плане» и рассмотрим для примера плоское напряженное состояние.
В стенке выделен кубический элемент с произвольной ориентацией в пространстве [2]:
Для этого элемента найдены площадки, по которым действуют главные напряжения, то есть направления главных напряжений:
Итак, делаем вывод:
величины напряжений и направления напряжений по сторонам произвольно выделенного кубического элемента не совпадают с величинами напряжений и направлениями главных напряжений. На месте произвольно выделенного кубического элемента должен быть нарисован кубический элемент с главными напряжениями.
Равновесие элемента сплошной среды
Итак, в стенке выделен кубический элемент со сложным напряженным состоянием в
Прямоугольных координатах:
Тимошенко [3] отмечает о равновесии элемента за счет моментов от касательных напряжений вокруг осей x, y, z.
__
Чрезвычайно ВАЖНО (!)
Только конфигурация сплошного элемента со сторонами с равными площадями (для интеграла по элементарным площадкам касательных напряжений) и с прямыми углами между ребрами (осями x, y,z) ОБЕСПЕЧИВАЕТ РАВНОВЕСИЕ ЭЛЕМЕНТА.
__
Вместо куба может быть использован тетраэдр.
Тогда результирующий вектор рассматривается как эквивалентное напряжение, значение которого сравнивают с линейным растяжением.
Ошибка в равновесии элемента осесимметричной задачи теории упругости
Схема оболочки под давлением:
Из стенки выделяется сплошной элемент в форме трапеции с кривыми основаниями:
Рассмотрим этот элемент с размерами сплошности «в плане»:
Для того, чтобы выполнилось условие равновесия, необходимо, чтобы площади сторон сплошного элемента стенки в виде сегмента были равны для создания равных моментов касательными напряжениями.
__
Для ответа на поставленную проблему о равновесии, совместим сплошные элементы кубической формы и выделенный элемент []:
Как видно, площади сторон кольцевого выделенного элемента не равны, как в случае куба. А следовательно, этот элемент не будет находится в условиях равновесия (!).
Стороны не бесконечно малые и в точку не стягиваются. И напряжения по сторонам элементов отличаются по ориентации.
__
Итак, найдена первая ошибка в расчетной модели осесимметричной задачи теории упругости.
Ошибка в обращении с главными напряжениями в осесимметричной теории упругости
В осесимметричной задаче теории упругости почему-то считается, что кольцевые напряжения являются главными напряжениями (???).
В этой задаче постановка проблемы о поиске главных напряжений вообще не ставится (!!!).
__
Интересно рассмотреть обоснование ошибки некорректными рассуждениями:
– в работе Шапиро и Даркова [4.с.596]: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…».
Комментарий: главные напряжения необходимо найти по нормальным. Симметрия не обеспечивает их равенство.
Утверждение доказано в работе [5]:
Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):
На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.
Касательные напряжения по противоположным граням заменим на равнодействующую силу, приложенную напротив силы Q (т.е. точка приложения выбрана посередине между векторами сил):