{x>=9} x:= x+5 {x>=13}
| Число 13 в постусловии не опечатка. Предполагая корректную реализацию целочисленной арифметики, данная формула действительно выполняется. Если предусловие x>=9 выполняется перед присваиванием, то x>=13 будет истинным по завершении оператора присваивания. Конечно, можно утверждать более интересную вещь: при заданном предусловии сильнейшим, насколько это возможно, будет постусловие x>=14. В свою очередь, при заданном постусловии x>=13 слабейшим предусловием будет x>=8. Из выполняемой формулы корректности всегда можно породить новые выполняемые формулы, ослабляя постусловие или усиливая предусловие. Займемся теперь выяснением того, что означают термины "сильнее" и "слабее" в пред- и постусловиях. |
Сильные и слабые условия
Понятия "сильнее" и "слабее" пришли из логики. Говорят, что P1 сильнее, чем P2, а P2 слабее, чем P1, если P1 влечет P2 и они не эквивалентны. Каждое утверждение влечет True, и из False следует все что угодно. Можно говорить, что True является слабейшим, а False сильнейшим из всех возможных утверждений.
Давайте взглянем на формулу корректности с позиций человека, собирающегося наняться на работу по выполнению операции А. Каковы с его точки зрения наилучшие предусловие P и постусловие Q, если у него есть возможность выбора? Возможность усиления предусловия означает, что можно предъявлять более жесткие требования к работодателю, что можно уменьшить число ситуаций, в которых следует приступать к выполнению работы. Так что сильное предусловие это "хорошие новости" для работника. Наилучшей для него работой - синекурой является работа, чья спецификация выражается формулой:
Синекура 1
{False} A {...}
Постусловие здесь не специфицировано, поскольку не имеет значения каково оно. К выполнению работы можно вообще не приступать, поскольку нет ни одного начального состояния, в котором предусловие было бы истинным. Так что если вам предложат такую синекуру, немедленно соглашайтесь, не глядя на постусловие - требования, предъявляемые к выполненной работе.
| Именно такую спецификацию работ имел в виду начальник полиции одного из американских городов. Когда его спросили в интервью, почему он выбрал именно эту работу, он ответил: "Это единственная работа, где заказчик всегда неправ!" |
Для постусловия ситуация меняется на противоположную. Лучшими для работника являются более слабые условия - это "хорошие новости"; в этом случае хорошо нужно уметь делать очень немногое. Наилучшей работой - второй синекурой является работа, заданная спецификацией:
Синекура 2
{...} A {True}
Как бы не была выполнена работа, постусловие в этом случае будет истинным по определению. Кстати, почему эта работа является все-таки второй по предпочтительности? Причина, как можно видеть из определения триады Хоара, в завершаемости (terminate). Определение устанавливает, что выполнение должно завершиться в состоянии, удовлетворяющем Q, всякий раз, когда оно начинается в состоянии, удовлетворяющем P. Для синекуры 1, где нет состояний, удовлетворяющих P, не имеет значения, что делает А даже если программный текст приводит к выполнению бесконечного цикла, или ломает компьютер. Любое А будет корректным по отношению к данной спецификации. Для синекуры 2, однако, требуется завершение работы, должно существовать заключительное состояние, не важно, что делает А, но то, что делается, должно быть выполнено за конечное время.
| Читатели, знакомые с теорией, могли заметить, что формула {P} A {Q} определяет тотальную (total correctness) или полную корректность, включающую завершаемость наряду с соответствием спецификации. Свойство, устанавливающее, что программа удовлетворяет спецификации при условии ее завершения, известно, как частичная корректность. См. [M 1990] для детального знакомства с этими концепциями. |
Обсуждение того, будет ли усиление или ослабление утверждений "хорошей" или "плохой" новостью, шло с позиций работника, нанимающегося для выполнения работы. Обратим ситуацию, и рассмотрим ее с позиций работодателя. В этом случае слабое предусловие станет "хорошей" новостью, поскольку означает выполнение работы для большего множества входных случаев; более предпочтительным теперь является сильное постусловие, поскольку оно расширяет получение важных результатов. Эта двойственность критериев типична в рассмотрении корректности ПО. Она вновь появится в качестве центрального понятия этой лекции при обсуждении темы: контракты между модулями - клиентами и поставщиками, в установлении которых преимущества, приобретаемые одним участником, становятся обязательствами для другого. Производство эффективного и надежного ПО проходит через составление контрактов, представляющих возможные наилучшие компромиссы во всех межмодульных коммуникациях клиентов и поставщиков.
Введение утверждений в программные тексты
Как только корректность ПО определена как согласованность реализации с ее спецификацией, следует предпринять шаги по включению спецификации в сам программный продукт. Для большинства в программистском сообществе это все еще новая идея. Привычно писать программы, устанавливая тем самым, - как делать (the how); менее привычно рассматривать описание целей - что делать (the what) - как часть программного продукта.
Спецификации будут основываться на утверждениях - выражениях, включающих сущности нашего ПО. Выражение задает свойство, которому эти сущности могут удовлетворять на некоторых этапах выполнения программы. Типичное утверждение может выражать тот факт, что определенное целое имеет положительное значение, или что некоторая ссылка не определена.
Ближайшим к утверждению математическим понятием является предикат, хотя используемый язык утверждений обладает лишь частью выразительной силы полного исчисления предикатов.
Синтаксически утверждения в нашей нотации будут обычными булевыми выражениями с небольшими расширениями. Одним из расширений является введение в нотацию термина "old", другим - введение символа ";" для обозначения конъюнкции (логического И). Вот пример:
n>0; x /= Void
Как между объявлениями и операторами, стоящими на разных строках, символ ";" является возможным, но не обязательным, так и в последовательности утверждений, записанных на разных строках, он может быть опущен, подразумеваясь по умолчанию. Эти соглашения облегчают идентификацию индивидуальных компонентов утверждения, которым обычно даются имена:
Positive: n > 0
Not_void: x /= Void
Метки, такие как Positive и Not_Void, в период выполнения играют роль утверждений, что будет еще обсуждаться в этой лекции. В данный момент они введены, главным образом, для ясности и документирования. В нескольких последующих разделах будет дан обзор принципиальных возможностей применения утверждений: как концептуального средства, позволяющего создавать корректные системы, и как документирование того, почему они корректны.