- Что ты! Это пустяк по сравнению с истинной вершиной красоты. Зачем все эти сложные математические зависимости, если все определяет единственная, но всеобъемлющая? Всмотрись внимательнее в таблицу и, пожалуйста, не разочаровывай меня. Ищи!
Самуэль с интересом вглядывался в письмо Паскаля.
- Отец! Это непостижимо, я просто случайно наткнулся на удивительное свойство! Ведь каждое число в таблице равно сумме двух, расположенных над ним в предыдущем горизонтальном ряду!
- Браво, мой мальчик! Ты будешь ученым! Если искать подлинную математическую красоту, то вот она! Удивительное свидетельство существования таких математических тайн, о которых мы и не подозреваем*.
_______________
* В своем 42-м замечании на полях книги "Арифметика" Диофанта
Пьер Ферма записал по-латыни: "...наука о целых числах, которая, без
сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих
пор известна ни Боше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня
(Боше де Мазариак - математик, издавший в переводе на латынь с
древнегреческого "Арифметику" Диофанта, снабдив ее своими
комментариями и дополнениями, ставшую настольной книгой Ферма).
(Примеч. авт.)
- Да, отец, я понимаю тебя. Есть от чего прийти в восторг! Мне это представляется пределом достижимого.
- Как ты сказал? - сощурился Пьер Ферма. - Пределом достижимого? Пусть никогда эта повязка не закрывает твоих глаз ученого. Никогда воображаемый или даже увиденный "предел достижимого" не должен останавливать тебя в будущем как ученого.
- Я понимаю тебя, отец, и не понимаю.
- Я признаюсь тебе, Самуэль. Красота математической зависимости в таблице - это лишь сочетание граней частных случаев. А подлинная, всеобъемлющая красота - в обобщении. Ты понял меня?
- В обобщении? Ты хочешь сказать, что можно представить бином в какой-то степени в общем виде?
- Именно эту задачу я и поставил перед собой.
- Ты восхищаешь и поражаешь меня, отец. Придя в такой восторг от открытия Паскаля, ты пытаешься уйти вперед, возвыситься над таблицей частных значений!
- То, что может быть вычислено, должно и может быть представлено в виде универсальной формулы.
- Неужели ты нашел ее, отец?
- Да. Я еще никому не показывал ее, но подготовил письмо Каркави, заменившему почившего беднягу аббата Мерсенна, чтобы тот разослал копии европейским ученым. Журнала у нас все еще нет.
- Но, отец, не требуй от близких больше того, что они способны дать.
- Ты учишь меня разумному. Я всю жизнь стараюсь руководствоваться этим принципом.
- Так покажи мне формулу и вывод ее.
- Ты хочешь, чтобы я нарушил свой принцип? Нет, друг мой и сын мой! Даже для тебя я не сделаю исключения. Хочешь видеть мой БИНОМ пожалуйста. Но получить его с помощью математических преобразований попробуй сам. Я хочу убедиться, что ты станешь подлинным ученым.
- Но я не решусь соперничать с тобой.
- Это не соперничество. Труднее всего достигнуть конечной цели, не зная ее, а если она известна, то дорогу к ней найти легче.
- Но ко многим указанным тобой целям ученые так и не могут найти дороги. Потому так и ждут твоего собрания сочинений.
- Ты опять об этом. Лучше я тебе покажу свою формулу: (x + y)\n = (Mx + y)\n + (x + My)\n! - Он написал ее тростью сына на песке.
- Но как же мне найти дорогу к этой вершине?
- Я чуть-чуть помогу тебе, из отцовских чувств, конечно! Видишь ли, когда-то я предложил систему координат, которой воспользовался, в частности, мой друг Рене Декарт.
- Ему нужно было бы при этом больше сослаться на тебя.
- Я предложил систему координат, чтобы ею могли пользоваться все математики, которые найдут ее удобной, и не требую от них специальных поклонов в мою сторону.
- Ты остаешься самим собой, отец! Право, хотелось бы позаимствовать у тебя такие примечательные черты характера, которые поднимают тебя и надо мной, и над всеми. Итак, система координат?
- Теперь я пошел дальше. Ведь никогда не надо останавливаться на достигнутом. Я решил воспользоваться сразу двумя системами координат прямой и перевернутой. Это позволило мне создать метод совмещенных парабол.
- Очень интересно! Но как это понять?
И Пьер Ферма стал объяснять сыну суть своего метода, снова взяв у него трость, чтобы чертить на песке*.
_______________
* Примечание автора для особо интересующихся.
(см. прилагаемый рисунок: Ostree35)
Метод совмещенных парабол Пьера Ферма сводится к тому, что в системе
прямоугольных координат (декартовых!) с горизонтальной осью x и
вертикальной q - (xO1q) - вычерчивается парабола по уравнению q =
x\n. Чертеж поворачивается на 180°, и на нем наносится (см. рис.) еще
одна система прямоугольных координат (yO1l) с горизонтальной осью "у"
и вертикальной "l". Вертикальные оси двух систем координат отстоят
одна от другой на величину z, а горизонтальные на z\n. В перевернутой
системе координат тоже вычерчивается точно такая же парабола по
уравнению l = y\n. Две совмещенные таким способом параболы образуют
полусимметричную геометрическую фигуру, ограниченную ими. Выбирая
точку x1 на оси x, строим от нее вертикальный отрезок (до пересечения
с первой построенной параболой) с длиной g1 = X1\n. Проведя теперь
горизонтальную линию от пересечения вертикального отрезка с параболой
через фигуру до второй параболы, получим точку, вертикальный отрезок
от которой до оси у перевернутой координатной системы отметим на оси
y точку y1. Длина же этого отрезка, равная ординате перевернутой
параболы, будет l = y\n. Из построения следует: q + l1 = x1\n + y1\n
= z1\n. Диофантово уравнение, положенное Ферма в основу его Великой
теоремы. Все это восстановлено А. Н. Кожевниковым.
Ферма закончил формулой x\n + y\n = z\n и вернул сыну трость.
- Но ведь это же Диофантово уравнение! - воскликнул Самуэль.
- Ты прав. Мне еще придется заняться им. Примечательно, что оно получается из геометрического построения. Этим же построением можешь воспользоваться и ты, если не раздумал еще доказать формулу моего "бинома".
- Я попробую, отец, но ты, вероятно, переоцениваешь мои силы.
- Напротив, я надеюсь на тебя! Передаю тебе факел, как написал в своем письме.
- Сестричка! - воскликнул Самуэль.