Затем промежуточные результаты складываются. В современной нотации это записывается так:
24·53 = (20 + 4)·(50 + 3) = 20·50 + 20·3 + 4·50 + 4·3 = 1272.
В графическом виде умножение в греческой нотации выглядит так:
Использование 27 символов затрудняло вычисление промежуточных результатов, так как греческая таблица умножения должна была содержать 27·27 = 729 ячеек. Считается, что именно по этой причине решающую роль в развитии вычислений сыграл абак. Греческие абаки представляли собой таблички из нескольких столбцов, в которых располагались камешки или фишки. Каждому столбцу соответствовала степень 10; также имелись отдельные столбцы для дробей.
Этот абак, который представляет собой мраморную табличку, был найден на греческом острове Саламин в 1846 году.
Ученым удалось изучить эти таблички, так как некоторые образцы, например абак с острова Саламин, дошли до наших дней и, кроме того, содержат информацию о значениях, соответствующих столбцам. В этом абаке с острова Саламин каждый столбец означает определенное количество греческих монет. Большие столбцы обозначают (справа налево) 1, 10, 100, 1000 и 10 000 драхм, затем 1, 10, 100, 1000 и 10 000 талантов (один талант равнялся 6000 драхм). Малые столбцы соответствуют дробям. Использовались следующие дробные части драхмы: обол (один обол равнялся 1/6 драхмы), половина обола, четверть обола и халкус (один халкус равнялся 1/8 обола). Камешки, расположенные под линией, обозначают единицу; расположенные над линией — пять единиц. Следовательно, на следующей схеме представлено число 502158 + 2 обола + + 1/2 обола + 1 халкус.
При сложении с помощью абака камешки ставились рядом в соответствии с их позицией. Когда в нижней части накапливалось пять единиц, они заменялись одной единицей в верхней части, а две единицы в верхней части заменялись одной единицей в следующем разряде. При вычислениях с помощью абака следовало помнить, что 6000 драхм равняются одному таланту, а 6 оболов — одной драхме.
Таблица из «Альмагеста» — труда по астрономии, написанного Клавдием Птолемеем во II веке, в котором используются дроби.
Как и вавилонянам, грекам были известны шести десятеричные дроби, о чем упоминает Птолемей в своем «Альмагесте», однако в математических вычислениях греки использовали египетскую систему. В комментариях к трактату Архимеда Евтокий Аскалонский использует
для обозначения 1838 + 1/9 + 1/11, а
для обозначения 2 + 8/11 + 8/11 + 1/99 + 1/121.
Геометрия в Древней Греции находилась на очень высоком уровне развития, и грекам удалось получить более точную оценку числа π, чем их предшественникам. Архимед доказал, что число π лежит в интервале 3 + 10/71 = 223/71 < π < 3 + 1/7 = 22/7 (что соответствует среднему значению 3,141851), а Птолемей получил приближенное значение, равное 3,141666. Эти значения были получены с помощью двух правильных многоугольников (вписанного и описанного).
Гоавюры, посвященные Архимеду (слева) и Птолемею (справа).
Архимед исходил из того, что шестиугольник, вписанный в окружность единичного радиуса, имеет периметр, равный 6, а описанный шестиугольник — 4·√3. Следовательно, число π лежит в интервале от 3 до 2·√3. Он учитывал, что квадратный корень из 3 удовлетворяет следующему неравенству: 265/153 < √3 < 1351/780. Далее он перешел к правильным многоугольникам с большим числом сторон. Выбрав в качестве исходной фигуры шестиугольник, Архимед последовательно удваивал число его сторон, рассмотрев правильные многоугольники с 12, 24, 28 и 96 сторонами. С помощью правильного 96-угольника он получил приближенное значение 6336/(2017 + 1/4)< Я < 14688/(4673 + 1/2). Так как 3 + 10/71 < 6336/(2017 + 1/4) < π < 14688/(4673 + 1/2) < 3 + 1/7, он выбрал эти два значения в качестве границ интервала, в котором находится π. Птолемей рассматривал многоугольник с 360 сторонами.
Простые числа — это натуральные числа, которые делятся только на единицу и сами на себя. Единица по определению не считается простым числом. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел единственным образом (без учета перестановок множителей). Так, например: