Существовало две системы обозначений. В первой за основу было взято вертикальное положение палочек, что можно видеть на следующей иллюстрации, где слева направо записаны числа от 1 до 9.
Во второй системе за основу было взято горизонтальное положение палочек, как показано далее. Здесь тоже представлены числа от 1 до 9.
Эта система счисления использовалась на табличках, где для представления чисел цифры записывались по-разрядно. Например, число 4508 на такой табличке записывалось следующим образом.
Как вы можете видеть, в записи чисел участвовали обе системы одновременно: вертикально расположенные палочки обозначали единицы, сотни и так далее; палочки, расположенные горизонтально, — десятки, тысячи и следующие разряды. Если одна из цифр равнялась нулю, соответствующая позиция оставалась пустой, как вы можете видеть на примере записи числа 4508. Аналогичным образом записывались отрицательные числа. Положительные и отрицательные числа различались цветом палочек: для записи положительных чисел использовались красные палочки, для записи отрицательных — черные.
Арифметические действия выполнялись на той же табличке с теми же палочками. Сложение и вычитание производились путем добавления палочек или удаления их с доски. Были известны методы умножения и деления, а также алгоритмы выполнения других алгебраических операций, в частности нахождения корней многочленов.
Система вычислений с помощью палочек также появилась в Корее и Японии (точный период неизвестен). Известно, что эта система применялась в Японии в период правления императрицы Суйко (593–628) под названием санги.
Абак был известен в Китае начиная со II в. до н. э. под названием суаньпань. Китайский абак делился на две части: костяшки верхней части обозначали пять единиц (либо десять, сто и так далее), а каждая костяшка в нижней части обозначала единицу. Подобным образом на две части делился и римский абак. Учитывая длительную торговлю Римской империи с Китаем, некоторые исследователи всерьез полагают, что римский и китайский абак были созданы под влиянием друг друга.
Учитель объясняет ученикам китайской школы округа Чжэньцзян, как пользоваться абаком. 1938 год.
Китайский абак появился в Японии примерно в XVI веке и был известен как соробан. Он появился благодаря торговцам, однако его распространение было непростым. Лишь спустя много лет он был введен в школах и начал использоваться для решения сложных математических задач. В торговле соробан быстро заменил ранее применявшиеся устройства, однако они по-прежнему использовались в высшей математике.
Для обозначения цифр и в Китае, и в Японии (системы счисления в этих странах очень похожи) использовались девять идеограмм.
Для обозначения десятков, сотен, тысяч и следующих разрядов эти символы записывались рядом со следующими идеограммами:
При записи чисел использовались символы от 1 до 9 вместе с символами десятков, сотен и так далее. Например, число 10563 записывалось следующим образом:
что расшифровывается так:
Следует упомянуть, что в отличие от системы, используемой в большинстве европейских языков, в основе которой лежит тысяча (103), в китайской системе в основе кратных величин лежит 104. Следовательно, 132000 записывается как 13·(104) + 2000.
В виде идеограмм это число будет представлено так:
Китайцы разработали алгоритмы для вычисления числа π. Великий математик Лю Хуэй, живший около 300 года во времена царства Вэй, возникшего после распада империи Хань, первым создал метод вычисления числа π. Живший до него ученый и изобретатель Чжан Хэн (78—139), который создал прибор для определения землетрясений за 1700 лет до появления первого сейсмографа, получил приближенное значение π, равное 3,1724. Также использовались значения 3,162 (корень из 10) и 3,156. В III веке астроном Вань Фань, живший в царстве У, использовал последнее значение, равное дроби 142/45.
Первый метод, использованный Лю Хуэем для нахождения приближенного значения π, заключался в бисекции многоугольников. С помощью многоугольника с 96 сторонами он вычислил, что π лежит в интервале между 3,141024 и 3,142708. Он использовал приближенное значение, равное 157/50, так как считал значение 3,14 достаточно точным.