Китайские марки, посвященные ученым Лю Хуэю (слева) и Чжану Хэну (справа).
Лю Хуэй использовал шестиугольник со стороной L, вписанный в окружность. Далее число сторон многоугольника последовательно удваивалось. Иными словами, сначала рассматривался шестиугольник, затем 12-угольник, далее — 24-угольник (24 = 12·2), 48-угольник (48 = 24·2) и так далее. На каждом шаге Лю Хуэй вычислял площадь многоугольника с N сторонами и длину стороны многоугольника с числом сторон, равным 2N.
Будем обозначать за l длину стороны многоугольника с 2N сторонами. Используем теорему Пифагора: для данного прямоугольного треугольника с гипотенузой h и двумя катетами длиной с1 и с2 выполняется равенство h2 = с12 + с22.
Вычисление длины стороны l по известному значению L, где L — длина стороны шестиугольника, I — длина стороны 12-угольника,
О — центр окружности, А и В — две вершины шестиугольника, С — новая вершина, Р — точка на стороне шестиугольника, равноудаленная от А и В. Радиус окружности равен r, расстояние от центра до Р равно R.
На рисунке обозначены центр окружности О и сторона шестиугольника (длиной L). Ее концы обозначены А и В. Точки ОАВ определяют треугольник. Далее вычисления выполняются следующим образом.
Шаг 0. Будем рассматривать многоугольник с N = 6 сторонами, длина его стороны L известна.
Шаг 1. Разделим сторону АВ на две равные части. Обозначим середину стороны АВ точкой Р.
Шаг 2. Вычислим длину отрезка ОР и обозначим ее длину за R. Для этого применим теорему Пифагора. Нам известно, что гипотенуза треугольника ОАР равна r, один из катетов равен L/2, длина другого, которую мы хотим вычислить, равна R. По теореме Пифагора г2 = R2 + (L/2)2. Отсюда имеем R2 = r2 — (L/2)2, следовательно
Шаг 3. Рассмотрим радиус окружности, который проходит через точку Р. Точка пересечения этого радиуса и окружности будет вершиной многоугольника с 2N сторонами. Обозначим эту точку С. Зная R, мы можем вычислить длину отрезка PC. Обозначим ее за р. Так как длина ОС равна r, длина PC равна
Шаг 4. Длину отрезка АС можно определить по теореме Пифагора. Как мы уже говорили, будем обозначать длину этого отрезка за l. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна l, катеты — L/2 и р. Следовательно,
Шаг 5. Выразив l из последнего равенства, получим длину многоугольника с 2N сторонами:
Шаг 6. Площадь многоугольника с N сторонами можно вычислить на основе площади треугольника ОАВ. Площадь многоугольника будет в N раз больше площади этого треугольника. Площадь треугольника ОАВ, очевидно, равна половине произведения его основания на высоту. Длина основания АВ равна L, высота равна R (это значение мы уже вычислили). Следовательно, площадь многоугольника равна
N·площадь треугольника ОАВ = N·(L·R)/2.
Шаг 7. Далее нужно вернуться к шагу 2 и принять N = 2N, L = l. Чтобы определить значение π, нужно учесть, что площадь круга равна π·r2. Следовательно, для r = 10 площадь круга равна π·100.
Если начать с r = 10 (в этом случае L = 10), с помощью вышеприведенного алгоритма мы получим значения площадей, представленные в таблице ниже. В этой таблице используется современная нотация, Лю Хуэй в своих расчетах применял дроби. Он заметил, что для данного многоугольника с 2N сторонами длиной l, построенного на основе многоугольника с N сторонами длиной L, площадь круга (обозначим ее за С) удовлетворяет следующему неравенству: