* * *
ЦИРКУЛЬ МАСКЕРОНИ
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки всегда занимали почетное место среди занимательных задач. Одна из наиболее любопытных публикаций на эту тему принадлежит землемеру Уильяму Лейбурну, который в 1694 году опубликовал книгу Pleasure with Profit («Приятное с полезным»), где описал всевозможные математические «игры с линейкой и вилами» (под вилами имелся в виду циркуль с фиксированным раствором). Одно из величайших открытий, связанных с задачами такого типа, было совершено в 1794 году, когда итальянский геометр Лоренцо Маскерони в своей работе Geometria del Compasso доказал, что любое построение, которое можно совершить с помощью циркуля и линейки, также можно выполнить с помощью только циркуля (разумеется, раствор которого не фиксирован). Так как провести прямую с помощью циркуля невозможно, Маскерони считал, что она определяется двумя точками, заданными пересечением дуг.
* * *
Определив правила игры, можно приступить к решению задач. Рассмотрим, например, как можно провести перпендикуляр к отрезку в его середине. Допустим, дан отрезок АВ. Сначала нужно провести окружность с центром в точке А и радиусом АВ. Далее нужно построить другую окружность такого же радиуса, но с центром в точке В. Прямая, соединяющая точки пересечения окружностей, и будет требуемым перпендикуляром.
Следует предостеречь читателя от бесплодных попыток решить задачу о квадратуре круга: в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным, поэтому эта задача не имеет решения.
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна площади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоретически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонт из Афин (ок. 480–411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: будем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем в данную окружность шестиугольник.
Нам известно, что задача о квадратуре шестиугольника имеет решение, то есть мы можем построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого будет равна площади заданного шестиугольника. Будем увеличивать число сторон многоугольника, вписанного в окружность, и для каждого из этих многоугольников задача о квадратуре по-прежнему будет иметь решение. Разница между площадью окружности и площадью вписанного многоугольника будет последовательно уменьшаться. По сути, она может быть сколь угодно малой. Представим себе, например, многоугольник, число сторон которого равняется нескольким квадриллионам. Любая из его сторон будет очень близка к дуге окружности, так что их будет очень и очень сложно отличить. Антифонт считал, что таким способом можно решить задачу о квадратуре круга.
Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключается в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.
Окружность — это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Пока этого не происходит, речь идет о потенциальной бесконечности.
* * *
КВАДРАТУРА СТОЛА
Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.
Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.
Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.