Евдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.
В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».
В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:
если ka < k'b, то kc < k'd;
если ka = k'b, то kc = k'd;
если ka > k'b, to kc > k'd.
Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учитывать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозначать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Более того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью метода, который он сам называл методом сечений.
* * *
ЕВДОКС И АСТРОЛОГИЯ
Евдокс родился около 408 г. до н. э. в Книде — древнегреческом городе в Карии, на территории современной Турции. Он также известен как астроном и географ, совершивший важные открытия в этих науках. Евдокс рассчитал траектории различных звезд и определил, что солнечный год на 6 часов длиннее, чем принятый тогда календарный, состоявший из 365 дней, и первым разделил небесную сферу на градусы широты и долготы. Он также создал карту звездного неба и календари, занимался исследованиями по метеорологии и определению смены времен года в долине Нила. Знания астрономии, которые он использовал в своих вычислениях, стали причиной его разногласий со жрецами. Евдокс, будучи противником астрологии, аргументировал свои взгляды не постулатами веры, о которых сложно вести спор, а методологическими положениями: «Когда делают предсказания о жизни человека по его гороскопам, основанным на дате его рождения, этим предсказаниям не стоит придавать значения, поскольку влияние звезд столь сложно, что на всей Земле нет такого человека, который смог бы его вычислить».
* * *
Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».