Возможность представления функции в виде суммы тригонометрических функций синуса и косинуса обладает огромным преимуществом с точки зрения математики, так как для синуса и косинуса легко построить график, вычислить производную и интеграл. Фурье доказал, что любую периодическую функцию f(х) при соблюдении некоторых ограничений можно представить в виде бесконечной суммы функций синуса и косинуса. Тем не менее разложение в ряд Фурье ставит два важных вопроса, на которые непросто дать ответ, так как они затрагивают самые основы математического анализа и касаются теорем о существовании и единственности. Звучат эти вопросы так: во-первых, при каких условиях существует ряд, который действительно сходится к данной функции, и, во-вторых, если такой ряд действительно существует, является ли он единственно возможным?
В 1870 году Кантор сформулировал теорему, содержащую критерий сходимости ряда Фурье, в следующем году — вторую теорему, которая дополняла первую и касалась единственности ряда Фурье для данной функции. При этом Кантор столкнулся с проблемой: эта теорема не имела общего характера, и существовали точки, в которых она не выполнялась, причем таких точек было бесконечно много, и их множества перемежались с множествами точек, в которых теорема была верна. Так Кантор столкнулся с иррациональными числами. Встал вопрос, выходивший далеко за рамки разложения функции в ряд и за рамки понятия бесконечности. Кантор начал серьезно рассматривать взаимоотношения между непрерывным и дискретным на множестве вещественных чисел. С одной стороны, имелась прямая, на которой из чисто геометрических соображений точки распределялись непрерывно, с другой стороны, с арифметической точки зрения распределение этих точек было дискретным. Проблема заключалась в самом определении вещественного числа, точнее в определении иррационального числа (см. приложение «Множества чисел»).
Жан-Батист Жозеф Фурье.
Кантор разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году в работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических рядов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но ему не удалось разработать полную и согласованную теорию. Четкое математическое определение вещественным числам ученый дал значительно позже, в своих «Основаниях общей теории множеств». По словам самого Кантора, он пришел к этому определению после глубоких философских размышлений о бесконечности и непрерывности. Математику были знакомы работы Коши и Вейерштрасса, и он знал, что на множестве рациональных чисел 
существовали последовательности, не сходившиеся ни к какому рациональному числу. Речь шла о последовательностях, определенных Коши, элементы которых группировались друг вокруг друга, но не в окрестности какого-либо рационального числа. В главе 2 мы уже приводили пример бесконечного ряда, сходящегося к числу, которое не является рациональным — √2. Мы также говорили, что элементы этих последовательностей могут располагаться сколь угодно близко друг к другу. Кантор назвал такие последовательности фундаментальными (в настоящее время они также называются последовательностями Коши).
Кантор чувствовал, что фундаментальные последовательности должны сходиться к иррациональному числу, и взял это за основу определения иррационального числа. Если продолжать аналогию, которую мы использовали в предыдущих главах, Кантор заметил скопления машин на автомагистрали и предположил, что причиной этому являются пункты оплаты — иными словами, существуют точки, в которых скапливаются определенные числовые последовательности и отсутствуют рациональные числа (это те самые промежутки на числовой прямой, о которых мы говорили выше). В таких точках должны находиться иррациональные числа, например √2, √3, √5 или даже π. Проблема заключалась в том, что иррациональным числам нужно было дать строгое определение на языке математики.
Существуют определенные свойства, которыми должны обладать множества чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их действительно можно было использовать и определить на них элементарные операции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкнутыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет целым числом. Второе свойство — упорядоченность: для двух любых данных чисел можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Третье свойство — плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чисел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всегда находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кантор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррациональные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла еще одна проблема — различные фундаментальные последовательности могли сходиться к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества, с помощью которых множества чисел определяются сейчас.