Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.
* * *
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел 
не является счетным и содержит больше элементов, чем 
, то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел. Кардинальное число множества он обозначил как алеф-один — 
. Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.
* * *
ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА
Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвященный, главным образом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.
* * *
Кантор знал, что — число точек, содержащихся на любом отрезке прямой. Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно еще древним грекам.
Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.
Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой Е — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечет отрезок Ь, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.
Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат
и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно , то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал еще один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб: