Каждый педагог, ведущий начальный курс логики, сталкивается с необходимостью иллюстрировать логические законы на примерах, взятых из естественного языка. Здесь, однако, преподавателя логики подстерегают трудности, связанные с тем, что язык логики и естественный язык – неизоморфны.
Пример 1. Попробуем проиллюстрировать закон де Моргана
(1)
(Здесь символы , и обозначают соответственно отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний.)
Рассмотрим высказывание
«Я не буду поступать в МГУ и в МПГУ». (2)
По вышеприведенному закону де Моргана высказывание (2), казалось бы, следует понимать так:
«Я не буду поступать в МГУ или я не буду поступать в МПГУ», т.е.
«Я не буду поступать хотя бы в одно из этих учебных заведений». (3)
Однако, в естественном языке фраза (2) имеет вполне определенный смысл, не совпадающий с (3). А именно, смысл (2) таков:
«Я не буду поступать в МГУ и я не буду поступать в МПГУ». (2)
Таким образом, использовать примеры вида (2) для иллюстрации упомянутого выше закона де Моргана – нельзя.
Еще более интересная ситуация возникает, когда мы имеем дело с высказываниями, содержащими кванторы общности и существования .
Пример 2. Рассмотрим, например, следующий закон отрицания высказываний с квантором общности
(4)
заметим при этом, что «утверждение»
«» (4а)
является грубой ошибкой.
Попробуем теперь проиллюстрировать закон (4), отрицая высказывание:
«Каждый сумеет решить эту задачу». (5)
В соответствии с законом (4), правильно построенное отрицание имеет вид:
«Найдется человек, который не сумеет решить эту задачу». (6)
Однако, вопреки тому, что (4а) является грубой ошибкой, высказывание:
«Каждый – не сумеет решить эту задачу» (6а)
является вполне допустимым в естественном языке отрицанием высказывания (5).
Приведенные выше примеры говорят о том, что иллюстрации к законам логики, взятые из естественного языка, следует подбирать с осторожностью, а сам факт отсутствия изоморфизма между языком логики и естественным языком – следует подчеркнуть в самом начале вводного курса логики.
Выше мы уже говорили о том, что в преподавании начального курса логики имеются своеобразные трудности, связанные с отсутствием изоморфизма между естественным языком и языком, на котором написаны логические формулы.
Сейчас эта тема будет продолжена в несколько ином направлении.
Как хорошо известно, в математике не существует запрета на введение (временных) обозначений для несуществующих объектов. Например, если требуется решить в целых числах уравнение
то через x обозначают искомое (несуществующее) целочисленное решение, и лишь затем убеждаются, что такого решения нет.
Строго говоря, здесь следовало бы рассуждать от противного; однако, даже рассуждая со всей строгостью от противного, мы по-прежнему вынуждены вводить обозначение x для несуществующего объекта.
Здесь мы коснемся этого же вопроса применительно к преподаванию темы «Высказывания» в курсе логики. Разбирая эту тему, преподаватель неизбежно сталкивается с несуществующими объектами, которые ведут себя довольно парадоксальным образом.
Рассмотрим, например, высказывание:
Все Деды-Морозы делают подарки детям. (1)
Это высказывание, очевидно, следует считать истинным. Действительно, его отрицание выглядит следующим образом:
Существует Дед-Мороз, который не делает подарков детям. (2)
(Поскольку Дед-Мороз не существует, высказывание (2) – ложно, и, значит, высказывание (1) истинно.) В высказывании (1) мы имеем дело с (пустым) множеством, состоящим из всех Дедов-Морозов; ситуация радикально меняется, если мы имеем дело не с множеством, а с «единичным объектом», которого на самом деле не существует.
Действительно, рассмотрим теперь такое высказывание:
Дед-Мороз принес подарок Васе. (1)
Однако (1) в отличие от (1), очевидно, ложно! Дело в том, что (1), в сущности, следует рассматривать не как простое, а как составное высказывание: