x + y = 10, 5x + 6y = 56. (*)
Умножая первое уравнение системы (*) на 5 и вычитая его из второго, получаем y = 6, а затем из первого уравнения находим x = 4. Теперь в ответе имена величин вспоминают:
Ответ: мышка стоит 4 рубля, птичка стоит 6 рублей.
Заметим, что действия при решении алгебраической системы (*), в сущности, те же, что и при решении этой задачи арифметическим способом. Как показывает наш опыт, дети в состоянии объяснить смысл каждого преобразования в процессе решения системы (*) на языке наглядных образов. В результате решение, полученное алгебраическим способом, способствует закреплению и упорядочению знаний, служит связующим звеном между наглядно-образным и абстрактным (символьным) мышлением. Рассмотрим теперь другую известную задачу (см., например [5]).
Задача Б. Десять мышек и птичек (птички и мышки настоящие, не игрушечные) съели 56 зерен. Каждая мышка съела 5 зерен, а каждая птичка – 6 зерен. Сколько было мышек и сколько птичек?
Решение (алгебраическое). Пусть x – число мышек, y – число птичек. Составляем соответствующую задаче Б систему уравнений, содержащих именованные величины:
x + y = 10 (животных), 5x + 6y = 56 (зерен). Опуская имена величин, приходим к системе
x + y = 10, 5x + 6y = 56. (**)
Решая ее, получаем: x = 4, y = 6.
Ответ: 4 мышки, 6 птичек.
Система (**) формально совпадает с системой (*) и решается тем же способом, что и система (*). Однако, как показывает наш опыт, дети, решив сначала задачу А алгебраическим способом и дав своему решению правильное истолкование на языке наглядных образов, затруднялись объяснить смысл аналогичных преобразований системы (**). Некоторые говорили так: «Нужно взять пять комплектов животных и вычесть их из 56 зерен…» Причина затруднений, очевидно, была в том, что уравнения системы (**), в отличие от системы (*), содержат величины разных наименований.
На наш взгляд, на начальном этапе обучения область применения алгебраического метода должна быть ограничена текстовыми задачами, решение которых не приводит с системам, содержащим величины разных наименований.
Моделирование «в отрезках», используемое в системе Л.Г. Пе-
терсон, существенно облегчает детям понимание текстовых
задач, в значительной степени устраняет случайное манипулирование числовыми данными.
В то же время, у некоторых детей складывается представление о том, что моделирование в отрезках есть универсальный метод, пригодный для решения «всех задач».
Мы ограничимся здесь рассмотрением текстовых задач для начальной школы, не включающим в себя задачи «на движение».
Эти задачи, как правило, сводятся к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Задача 1. В первый день портной сшил несколько костюмов, а во второй день сшил их в три раза больше. Сколько костюмов сшил портной в первый день, если за два дня он сшил их 16?
Решение. Пусть х – количество костюмов, сшитых в первый день, у – количество костюмов, сшитых во второй день. В результате имеем систему из двух уравнений специального вида:
у = 3х, (1)
х + у = 16. (2)
Совершенно очевидно, что алгебраическая процедура решения этой системы в точности соответствует процедуре решения при моделировании «в отрезках» (см. рис. 4.1).
Однако, научить ребенка мыслить – это, в сущности, научить его строить разнообразные модели. Наш педагогический опыт показывает, что желательно познакомить детей с задачами, для которых модели «в отрезках» не работают и которые, тем не менее, могут быть решены с помощью несложных и наглядных рассуждений. (Что касается алгебраического подхода к решению текстовых задач, то он, позволяя быстро получить ответ при помощи стандартных операций с символами, не способствует развитию образного и логического мышления.)
Задача 2 (см., например, [5]). Когда на каждую елку село по одному соловью, то один соловей остался без елки. А когда соловьи расселись на елках парами, то одна елка осталась без соловьев. Сколько было елок и сколько было соловьев?