Задача. В магазин привезли 100 килограммов ягод, влажность которых составляла 99%. Через некоторое время ягоды немного подсохли, и их влажность стала равна 97%. Сколько стали весить ягоды, привезенные в магазин?
Решение. Обозначим через х вес сухого вещества ягод. Имеем из условия:
х = 100 – 100·0,99 = 1 (кг). (1)
После усушки вес сухого вещества ягод, очевидно, не изменился, поэтому, обозначая через у (общий) вес ягод после усушки, очевидно, приходим ко второму уравнению:
Разрешая систему (1), (2) относительно у, неожиданно получаем:
Ответ: После усушки ягоды стали весить кг.
Итак, усохнув всего-навсего на 2%, ягоды стали почему-то весить втрое меньше…
Продвинутые ученики, понимают, конечно, в чем тут дело, но остальным полученный ответ кажется очень странным и даже неверным.
Тем самым возникает чисто педагогическая проблема – как изложить решение этой задачи, чтобы ее ответ сделался не странным, а, напротив, очевидным?
Как показывает опыт, делу может помочь следующая геометрическая модель (которую, впрочем, редко используют[4]); см. рис. 5.1, где условно принято:
AC = 100 (кг), AB = y (кг),
AD = AD = 1 (кг),
AD = 1% AC, AD = 3% AB.
Глядя на этот рисунок, даже слабые ученики воспринимают тот факт, что если отрезок AD составляет сотую долю известного отрезка AC, а отрезок, составляющий сотую долю от AB, в три раза короче, чем AD, то:
AB =
В результате обращения к этой геометрической модели, задача оказывается не формально «пройденной», а действительно понятой учениками.
Хорошо известно следующее правило комбинаторики – так называемое правило произведения. Если нужно выбрать упорядоченную пару элементов (a,b) и первый элемент пары можно выбрать
k способами, а после того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать m способами, то упорядоченную пару, состоящую из этих двух элементов, можно выбрать k∙m способами.
Доказывается это очень просто. Будем изображать возможный выбор первого элемента пары (a,b) в виде ствола дерева
(см. рис. 6.1), а возможный выбор второго элемента пары – в виде ветки, растущей из верхнего конца ствола (см. рис. 6.2).
Тогда выбору упорядоченной пары вида (a,b) будет соответствовать маршрут от «подножия» одного из k деревьев до верхушки ствола и затем по одной из m веток до самого верха. Нетрудно видеть, что всего таких маршрутов будет
m + m + … + m = m∙k (1)
(слева в (1) k слагаемых). Маршруты мы считаем различными, если они не совпадают хотя бы в одной из своих частей.
Возможна ситуация, когда, например,
Правило произведения легко обобщается на случай, когда требуется сосчитать число возможных способов выбрать упорядоченную тройку элементов или, более общо, упорядоченный набор из n элементов.
Применим теперь правило произведения к решению простейшей задачи. Пусть города А и В связаны сетью дорог, как показано на рис. 6.3.
Ехать из А в В можно только по направлениям, указанным стрелками (так что мы, по существу, имеем дело с ориентированным графом). Спрашивается, сколькими способами можно доехать из А в В? Нетрудно видеть, что выбор первого участка маршрута (до развилки) можно осуществить пятью способами, после чего выбрать второй участок пути всегда (т.е. при любом выборе первого участка) можно тремя способами. Таким образом, применимо правило произведения, и общее количество способов, которыми можно добраться из А в В, равно 5∙3 = 15.