Квантовое измерение, протекающее в соответствии с приведенным выше постулатом, называется проективным измерением. Проекция измеренного состояния на один из элементов базиса именуется также коллапсом квантового состояния. Уравнение (1.3) — это правило Борна.
Вероятностное поведение квантовых объектов вызывало множество споров в те времена, когда квантовая механика только зарождалась. Дело в том, что к концу XIX в. общепринятым считался принцип детерминизма: физики уверенно полагали, что, если бы начальные условия заданной квантовой системы были известны с достаточной точностью, ее развитие можно было бы предсказать сколь угодно хорошо. Квантовая физика разрушила данное фундаментальное убеждение, и многим физикам оказалось чрезвычайно трудно это принять. Например, Альберт Эйнштейн сделал по данному поводу свое знаменитое заявление, что «Бог не играет в кости», и предложил блестящий Gedankenexperiment[15], показывающий, что постулаты квантовой механики противоречат здравому смыслу. Мы разберем этот мысленный эксперимент в следующей главе и увидим, как квантовую случайность можно объяснить тем, что сами наблюдатели тоже являются квантовыми объектами, но не могут экспериментально убедиться в своей квантовой природе. Давайте, однако, пока примем квантовую случайность как постулат, который подтверждается большим объемом экспериментальных данных.
Упражнение 1.6. Покажите математически, что для состояния |ψ⟩ сумма вероятностей регистрации (1.3) для всех элементов базиса составляет ⟨ψ|ψ⟩, т. е. равна единице, если состояние физическое.
Упражнение 1.7. Покажите, что применение общего фазового множителя к квантовому состоянию не меняет вероятностей результатов его измерения — в согласии с тем фактом, что фаза никак не влияет на физику состояния, о чем говорилось в предыдущем разделе.
Выше мы говорили о возможности повернуть PBS и изменить в результате этого прибор на рис. 1.2a так, что он будет измерять поляризацию в неканоническом, линейно поляризованном базисе. Однако фотон, отраженный PBS, не станет распространяться в горизонтальном направлении, а это неудобно при проведении практического лабораторного эксперимента (отступление 1.3). Поэтому большинство экспериментаторов пользуется оптическим элементом, известным как волновая пластинка[16], который переводит поляризованные состояния фотона одно в другое. Вот несколько примеров.
Упражнение 1.8. Покажите, что:
a) устройство на рис. 1.2b выполняет измерение поляризации фотона в диагональном (|±45º⟩) базисе;
b) устройство на рис. 1.2c выполняет это же измерение в круговом ({|R⟩,|L⟩}) базисе.
Подсказка: когда устройство, описанное в постулате об измерениях, измеряет одно из своих собственных базисных состояний |𝑣i⟩, то результат измерения укажет на это состояние с вероятностью 1. Верно и обратное: если это устройство способно строго различить некий конкретный ортонормальный набор состояний, то мы можем сделать вывод, что этот набор является измерительным базисом данного устройства. Следовательно, чтобы выполнить это упражнение, достаточно показать, что базисные состояния [т. е. |±45º⟩ в варианте a) и |R⟩, |L⟩ в варианте b)] после PBS дадут щелчки на разных фотонных детекторах.
Отступление 1.3. Оптический стол
На этой фотографии вы видите типичный квантово-оптический эксперимент. Он выполняется на оптическом столе — массивной металлической плите, на которую устанавливаются различные оптические элементы, такие как линзы, зеркала, лазеры, кристаллы и детекторы. Лучи, как правило, проходят горизонтально, на одном уровне по всей длине стола.
Упражнение 1.9.§ Каждое из состояний |H⟩, |V⟩, |+⟩, |—⟩, |R⟩, |L⟩ измеряется в
a) каноническом,
b) диагональном,
c) круговом базисах.
Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.
Ответ: для каждого состояния, когда измерение производится в базисе, к которому принадлежит это состояние, вероятности составляют 0 и 1. Если же состояние не принадлежит к измерительному базису, то вероятность обоих результатов равняется 
Упражнение 1.10. Предложите схему для квантового измерения в базисе