1.8. Проекционные операторы и ненормированные состояния
Ранее мы постулировали, что физические квантовые состояния имеют норму 1. Давайте теперь расширим это соглашение. Норма вектора состояния |a⟩ может быть меньше единицы; это означает, что состояние |a⟩ существует не точно, а с вероятностью, равной квадрату его нормы:
pra = ║ |a⟩ ║2 = ⟨a|a⟩. (1.8)
Такие состояния называют ненормированными.
Рассмотрим проективное измерение состояния |ψ⟩ в базисе {|𝑣i⟩}. Каноническая формулировка постулата об измерениях гласит, что измерение превращает |ψ⟩ в одно из |𝑣i⟩ с вероятностью (1.3). Воспользовавшись расширенным соглашением, мы можем сказать, что это измерение превращает |ψ⟩ в набор ненормированных состояний 
Каждое 
пропорционально |𝑣i⟩, но вероятность его существования равна квадрату его нормы:
Это можно записать иначе:
где мы ввели проекционный оператор (projection operator или projector):
Например, неразрушающее измерение состояния 
в каноническом базисе дает следующие ненормированные состояния:
Состояние 
представляет горизонтально поляризованный фотон, существующий с вероятностью prH = 4/5, а состояние 
— вертикально поляризованный фотон, существующий с вероятностью prV = 1/5.
Интерпретировать измерения на языке проекционных операторов часто оказывается удобным, как мы увидим позже.
Упражнение 1.28. Найдите матрицу проекционного оператора, связанного с базисным состоянием |𝑣2⟩ в базисе {|𝑣i⟩} для гильбертова пространства размерности N = 4.
1.9. Квантовые наблюдаемые
Постулат квантовой физики об измерениях, определенный нами в разд. 1.4, гласит, что квантовое измерение выполняется в ортонормальном базисе, а результат этого измерения есть случайный элемент этого базиса. Сделаем еще шаг вперед и свяжем с каждым элементом |𝑣i⟩ базиса действительное число 𝑣i. Тогда вместо «результатом измерения является состояние |𝑣i⟩» мы будем говорить «результатом измерения является величина 𝑣i».
Для некоторых измерений такая связь естественна. Например, состояние с определенным положением, такое как |xi⟩ = |x = 3 м⟩, естественным образом связано со значением координаты частицы (xi = 3 м). Для других измерений, вроде измерения поляризации фотона, естественной связи между элементами базиса и числами не существует, но такую связь можно ввести искусственно. К примеру, если мы измеряем в каноническом базисе, то можем связать число 1 с состоянием |H⟩, а число –1 с состоянием |V⟩.
Информацию о базисе измерения и связанных с ним величинах удобно выразить, скажем, в виде оператора:
Этот оператор называется наблюдаемым оператором, или просто наблюдаемым (observable). Как мы знаем (разд. A.8), элементы |𝑣i⟩ базиса измерений (собственного базиса наблюдаемого) представляют собой собственные состояния, или собственные векторы наблюдаемого, а соответствующие им величины 𝑣i являются его собственными значениями. Воспользовавшись (1.12), можно ввести наблюдаемый оператор для почти любого измерения или измеряемой величины: положения, импульса, момента импульса, энергии и т. п. Как мы увидим в ближайших разделах, наблюдаемые операторы в квантовой физике имеют первостепенное значение.
Из этого общего утверждения есть одно важное исключение. Время в квантовой физике никогда не рассматривается как оператор. Не существует ни собственных состояний времени, ни квантов времени. Время — это просто непрерывная переменная.
Упражнение 1.29. Найдите наблюдаемые, связанные с базисами {|H⟩, |V⟩}, {|+⟩, |—⟩} и {|R⟩, |L⟩} (т. е. с измерительными приборами на рис. 1.2) и собственными значениями ±1 (соответственно) в нотации Дирака. Найдите матрицы этих операторов в базисе {|H⟩, |V⟩}.
Ответ: операторы Паули (1.6):
|H⟩⟨H|—|V⟩⟨V| = σz; (1.13a)