|+⟩⟨+|—|—⟩⟨—| = σx; (1.13b)
|R⟩⟨R|—|L⟩⟨L| = σy. (1.13c)
Итак, мы увидели обе роли операторов в квантовой механике: это преобразования квантовых состояний и описания измерительных приборов. Естественно спросить, схожи ли физические реализации одних и тех же операторов в разных ролях. Пример выше показывает, что это не так. Измерительные приборы, реализующие оператор Паули, показаны на рис. 1.2. При этом операторы Паули как средства преобразования состояния реализованы в упр. 1.26. Видно, что конфигурации в том и другом случаях совершенно различны.
Упражнение 1.30. Покажите, что:
a) операторы, соответствующие физическим наблюдаемым (1.12), являются эрмитовыми;
b) любой эрмитов оператор может быть связан с некоторым физическим наблюдаемым, т. е. его можно выразить в виде (1.12) с действительными собственными значениями и собственными состояниями, образующими ортонормированный базис.
Упражнение 1.31. Выполните спектральное разложение матриц Паули (1.7) с использованием методов линейной алгебры. Проверьте соответствие вашего результата определению, данному в упр. 1.29.
Мы видим, что каждое измерение может быть связано с некоторым эрмитовым оператором и каждый эрмитов оператор может быть связан с некоторым измерением. Более того, наблюдаемый оператор содержит в компактной форме полную информацию о базисе измерения и связанных с ним собственных значениях. Если дается эрмитова матрица наблюдаемого оператора, мы можем извлечь из нее эту информацию посредством спектрального разложения[30].
Предположим, мы измеряем наблюдаемое 
в состоянии |ψ⟩. Результат этого измерения имеет вероятностный характер: мы будем наблюдать каждую величину 𝑣i с вероятностью pri = |⟨𝑣i|ψ⟩|2. Мы можем отнестись к измеренной величине наблюдаемого как к случайной величине (приложение Б) и найти ее статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию.
Упражнение 1.32. Наблюдаемое 
измеряется в состоянии |ψ⟩.
a) Покажите, что математическое ожидание этого измерения равно
Выражение в правой части этого уравнения называется также квантовым средним значением наблюдаемого в состоянии |ψ⟩.
b) Покажите, что дисперсия величины равна:
и что эта дисперсия может быть вычислена по формуле:
Как и в теории вероятностей, неопределенность квантовой величины равна квадратному корню из его дисперсии.
Странное понятие наблюдаемого оператора, введенное в предыдущем подразделе, оказывается весьма полезным. Оно не только несет в себе полную информацию об измерении, но и обеспечивает простой способ вычисления статистических свойств этого измерения в применении к заданному состоянию. Решим простой пример.
Упражнение 1.33§. Вычислите среднее значение, дисперсию и неопределенность наблюдаемого 
в состоянии |+⟩.
Чтобы интерпретировать приведенный ответ, вспомним, что наблюдаемое может быть измерено с использованием установки на рис. 1.2 a. Наблюдаемое принимает значение +1, если фотон проходит (проецируется на состояние горизонтальной поляризации), и –1, если фотон отражается (проецируется на состояние вертикальной поляризации). Диагонально поляризованный фотон имеет равные шансы как пройти, так и отразиться, так что среднее значение результата измерений будет равно нулю. Что касается дисперсии, то в каждом измерении мы получаем величину либо +1, либо –1, так что среднеквадратичное отклонение от нуля должно быть равно единице.
Это хороший пример перехода между классическими и квантовыми измерениями. Квантовые измерения имеют вероятностный характер: в данном случае каждый фотон будет случайным образом пропущен или отражен. В классической же физике все имеет детерминистский характер: если мы направим поляризованную под 45º классическую волну на PBS, она расщепится ровно пополам, безо всякой неопределенности. Принцип соответствия требует, чтобы квантовое поведение в макроскопическом пределе становилось классическим. Этот переход от квантового к классическому поведению можно проследить в следующем упражнении.
30
Важное исключение здесь — случай, когда матрица имеет вырожденные собственные величины. В этом случае решение для собственного базиса не единственно. Пример см. в упр. A.68.