Отличная квантовая механика

Упражнение 1.34. Группа из N поляризованных под +45º фотонов направляется в PBS. Вычислите среднее значение и неопределенность разности N_ между числом пропущенных и отраженных фотонов.

Подсказка: воспользуйтесь упр. Б.5.

Ответ: среднее равно нулю, неопределенность равна

На первый взгляд это может показаться странным: по мере того как наш эксперимент становится более макроскопическим, неопределенность в нем не снижается, а, напротив, повышается. Как это согласуется с классической физикой? Дело в том, что здесь имеет значение не абсолютная неопределенность, а относительная, т. е. Чем больше N, тем выше относительная точность фотометрии в двух каналах, требуемая для обнаружения квантовых флуктуаций.

Например, если N = 10⁴, то статистическое отклонение равно так что относительная неопределенность равна 1/100. Но если N = 10⁶, эта неопределенность становится в 10 раз меньше, 1/1000. А теперь напомню, что энергия фотона очень мала (~ 4 × 10^–19 Дж для видимого спектра), так что в любом эксперименте с участием макроскопически значимого количества света — даже в масштабе наноджоулей — задействовано громадное число фотонов. Относительная разность между прошедшей и отраженной энергиями ничтожна, и для ее регистрации требуются фотометры чрезвычайно высокой точности.

1.9.3. Принцип неопределенности

Упражнение 1.35. Покажите, что наблюдаемое в некотором квантовом состоянии |ψ⟩ имеет нулевую неопределенность тогда и только тогда, когда |ψ⟩ является собственным состоянием наблюдаемого

Упражнение 1.36. Рассмотрим два эрмитовых оператора Покажите, что существует базис, в котором они одновременно диагонализируются, тогда и только тогда[31], когда

Подсказка: доказательство будет проще, если предположить, что один из операторов не имеет вырожденных собственных значений.

Последнее упражнение показывает, что любые два коммутирующих наблюдаемых могут быть измерены одновременно. То есть можно построить устройство, выполняющее измерения в ортонормальном базисе, который можно связать одновременно с обоими этими наблюдаемыми.

Коммутирующие наблюдаемые «совместимы»: существует собственный базис Â, такой, что если система приготовлена в одном из его элементов |𝑣_i⟩, то она останется в этом состоянии при измерении наблюдаемого и результат измерения будет вполне определенным, а именно |𝑣_i⟩[32]. Если же не коммутируют, то система, приготовленная в собственном состоянии наблюдаемого Â, при измерении может дать случайный результат[33]. Степень этой случайности количественно оценивается принципом неопределенности Гейзенберга, который мы сейчас выведем.

Упражнение 1.37. Покажите, что для любых эрмитовых операторов

где квантовое среднее вычисляется в произвольном состоянии |ψ⟩.

Упражнение 1.38. Покажите, что для любых двух эрмитовых операторов Â, и любого состояния |ψ⟩

Подсказка: введите |a⟩ = Â|ψ⟩ и и примените неравенство Коши — Буняковского.

Упражнение 1.39. Докажите принцип неопределенности Гейзенберга (Heisenberg uncertainty principle): для эрмитовых Â, и любого состояния |ψ⟩

считая для простоты, что ⟨A⟩ = ⟨B⟩ = 0. (1.22)

Упражнение 1.40. Повторите доказательство без предположения (1.22). Остался бы принцип неопределенности (1.21) в силе, если бы правая часть уравнения равнялась

Упражнение 1.41. Покажите, что если  то правая часть неравенства неопределенностей не зависит от |ψ⟩:

Упражнение 1.42. Для

Принцип неопределенности Гейзенберга — одно из важнейших следствий квантовой физики и одно из главных ее отличий от физики классической. В те времена, когда квантовая механика только зарождалась, этот принцип был одной из самых противоречивых идей. Как и постулат об измерениях, принцип неопределенности прямо противоречил детерминистской картине мира, принятой тогда в классической физике. Согласно этой картине, любая неопределенность, полученная в ходе измерений, являлась следствием несовершенства измерительной техники, и путем усовершенствования этой техники ее можно было снижать до бесконечности. В рамках квантовой механики это не так: если создать устройство, способное точно измерить одно наблюдаемое в каком-то конкретном состоянии системы, то эта установка, какой бы замечательной она ни была, обязательно покажет плохой результат при измерении другого наблюдаемого.

31

Чтобы узнать о коммутаторах, загляните в разд. A.9.

32

Это не означает, однако, что любое собственное состояние наблюдаемого Â даст определенный результат при измерении Если у Â есть вырожденные собственные величины, его собственный базис не является единственным (см. разд. A.8), так что не каждый собственный вектор оператора Â гарантированно является также собственным вектором состояние |+⟩ является собственным состоянием Â, но не так что наблюдаемое при измерении в этом состоянии будет проявлять неопределенность, несмотря на то что

33

Даже если  не коммутируют, это не означает, что измерение наблюдаемого в собственном состоянии наблюдаемого Â всегда дает случайный результат.