Задача 1.9. Найдите базис измерения, связанный с устройством, которое состоит из:
a) полуволновой пластинки,
b) четвертьволновой пластинки
с оптической осью, ориентированной под углом α, за которой следует поляризующий светоделитель и два детектора фотонов.
Задача 1.10. Оператор Â имеет в каноническом базисе следующую матрицу:
a) Представьте этот оператор в виде Â = 𝑣1|𝑣1⟩⟨𝑣1| + 𝑣2|v2⟩⟨𝑣2|, где {|v1⟩, |𝑣2⟩} — ортонормальный базис. Найдите 𝑣1, 𝑣2, а также матрицы |𝑣1⟩ и |𝑣2⟩ в каноническом базисе.
b) Напишите матрицы внешних произведений |𝑣1,2⟩⟨𝑣1,2| в каноническом базисе и убедитесь явно, что Â = 𝑣1|𝑣1⟩⟨𝑣1| + 𝑣2|𝑣2⟩⟨𝑣2|.
c) Наблюдаемое Â измеряется в состоянии круговой поляризации |R⟩. Каковы вероятности возможных результатов?
d) Вычислите математическое ожидание результата измерения:
• используя определение математического ожидания из теории вероятностей;
• используя выражение для квантового среднего.
Убедитесь, что результаты одинаковы.
e) Вычислите дисперсию наблюдаемого Â в состоянии |R⟩.
Задача 1.11. Рассмотрите устройство для измерения поляризации фотона, имеющее следующие свойства:
• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «2»;
• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом π/2 + q, попадает в устройство, индикатор устройства показывает «3».
a) Найдите собственные значения и собственные состояния оператора Â, связанные с наблюдаемым, измеренным этим устройством.
b) Найдите матрицы оператора Â в его собственном базисе и базисе {|H⟩, |V⟩}.
c) Найдите вероятность каждого результата измерения для фотона, линейно поляризованного под некоторым углом ϕ.
d) Найдите среднее и дисперсию этого измерения.
Задача 1.12. Напишите принцип неопределенности для наблюдаемых 
измеренных в состоянии |H⟩. Убедитесь явно, что он выполняется.
Задача 1.13. Измерения наблюдаемого Â в состоянии |H⟩ дают результаты 0 либо 1, каждый с вероятностью 1/2. Измерения наблюдаемого 
в состоянии |H⟩ дают результат 2 с вероятностью 3/4 и результат 4 с вероятностью 1/4. Известно также, что 
Найдите верхнюю границу абсолютной величины x.
Задача 1.14. Найдите 
Задача 1.15. Атом описывается в некотором базисе {|𝑣1⟩, |𝑣2⟩} гамильтонианом
a) Найдите собственные состояния и собственные значения энергии.
b) Энергия этого атома измеряется в состоянии
Найдите вероятности обнаружения каждого собственного значения энергии, а также среднего арифметического и дисперсии этого измерения.
c) Первоначально этот атом находится в состоянии |𝑣1⟩. Найдите его состояние |ψ (t)⟩ в произвольный момент времени t. Сколько пройдет времени, прежде чем атом вновь окажется в состоянии |𝑣1⟩ (с точностью до фазового множителя)?
Задача 1.16. Предположим, что оператор (1.5a), связанный с полуволновой пластинкой под углом α, соответствует эволюции под некоторым гамильтонианом в течение времени t0.
a) Найдите матрицу этого гамильтониана в каноническом базисе.
b) Убедитесь, что эволюция за время t0/2 породит оператор четвертьволновой пластинки (1.5b).
c) Для гамильтониана, найденного в пункте a), и α = 30º решите дифференциальное уравнение Шрёдингера (1.31) для начального состояния |H⟩. Согласуется ли результат для t = t0 с тем, что можно было бы ожидать от физики преобразования поляризации?
Задача 1.17. Квантовая система может быть обнаружена в одном из трех ортогональных состояний |a⟩, |b⟩, |c⟩. Эти три состояния образуют ортонормальный базис.  представляет собой оператор, который циклически переставляет эти состояния, т. е. Â|a⟩ = ℏω|b⟩, Â|b⟩ = ℏω|c⟩, Â|c⟩ = ℏω|a⟩, (где ω действительно). Гамильтониан равен Ĥ =  + †.