a) Найдите собственные значения и собственные состояния энергии системы.
b) Найдите эволюцию системы, первоначально находившейся в состоянии |c⟩.
Задача 1.18. Атом имеет два энергетических собственных состояния |𝑣1⟩, |𝑣2⟩ с собственными значениями 0 и 3ℏω соответственно, где w > 0.
a) Напишите матрицу соответствующего гамильтониана Ĥ0.
b) В момент времени t = 0 включается поле, которое делает гамильтониан равным 
Напишите матрицу нового гамильтониана и связанный с ней оператор эволюции в базисе {|𝑣1⟩,|𝑣2⟩}.
c) В момент времени t = 0 атом находится в состоянии |𝑣1⟩. Найдите все значения времени t, в которые вероятность обнаружения атома в состоянии |𝑣2⟩ максимальна.
Глава 2. Запутанность
И лишь тогда, а вовсе не до того, не загодя, не вначале
2.1. Пространство тензорных произведений
Рассмотрим две физические системы, разделенные в пространстве и/или во времени, но взаимодействующие между собой или по крайней мере взаимодействовавшие в прошлом. Чтобы исследовать состояния, возникающие после такого взаимодействия, работать с каждой системой в отдельности недостаточно. С ними надлежит иметь дело как с единым гильбертовым пространством, объединяющим гильбертовы пространства, связанные с отдельными системами.
Предположим, например, что у Алисы на Венере имеется[36] горизонтально поляризованный фотон |H⟩, а у Боба на Марсе — фотон в состоянии |V⟩. Тогда мы говорим, что совместное состояние фотонов Алисы и Боба описывается выражением
|H⟩A ⊗ |V⟩B ≡ |H⟩|V⟩ ≡ |HV⟩. (2.1)
Такие совместные состояния называются тензорными произведениями[37].
Однако совместное гильбертово пространство содержит не только тензорные произведения. Так, поскольку оно включает в себя состояния |HV⟩ и |VH⟩ и является линейным, то должно также содержать состояние, к примеру, 
Это физическое состояние, поскольку его норма равна единице. Но его уже нельзя интерпретировать как тензорное произведение, т. е. комбинацию фотона Алисы в одном состоянии и фотона Боба в другом. Это уже нелокальная суперпозиция, или запутанное (entangled) состояние. А именно квантовая суперпозиция двух ситуаций: в одной из них у Алисы горизонтальный фотон, а у Боба вертикальный, в другой — наоборот. Если они измерят поляризацию своих фотонов в каноническом базисе, то обнаружат ортогональные поляризации.
Мы видим, что объединение двух гильбертовых пространств порождает совершенно новый класс состояний, который дает начало новой физике — физике нелокальных квантовых явлений. Это основная тема настоящей главы. Некоторые из таких явлений не только немыслимы с точки зрения классической физики, но и выглядят противоречащими фундаментальному здравому смыслу.
Прежде чем мы начнем изучать эту новую физику, нам придется заточить карандаши и обновить наш теоретический аппарат, чтобы его можно было применять к таким составным пространствам. Мы будем все рассуждения проводить для двусоставных (bipartite) пространств, но они могут быть расширены прямолинейным образом на системы с тремя и более частями.
Пространство тензорных произведений (мы также будем применять термин «составное пространство») 𝕍A ⊗ 𝕍B гильбертовых пространств 𝕍A и 𝕍B есть гильбертово пространство, состоящее из элементов |a⟩ ⊗ |b⟩ (где |a⟩ ∈ 𝕍A и |b⟩ ∈ 𝕍B) и их линейных комбинаций. Вот правила, которым подчиняются операции в этом пространстве:
1. Умножение на число:
λ (|a⟩ ⊗ |b⟩) = (λ|a⟩) ⊗ |b⟩ = |a⟩ ⊗ (λ|b⟩). (2.2)
2. Распределительный закон:
(|a1⟩ + |a2⟩) ⊗ |b⟩ = |a1⟩ ⊗ |b⟩ + |a2⟩ ⊗ |b⟩; (2.3a)
36
Это, конечно, фигура речи. Фотоны движутся со скоростью света, и никто не может «иметь» их на протяжении сколько-нибудь продолжительного периода времени. Утверждения о том, что у Алисы и Боба «имеется» фотон, относятся, как правило, к моменту времени непосредственно перед измерением.
37
Три эквивалентные части соотношения (2.1) представляют собой альтернативные варианты записи для состояний, представляющих собой тензорные произведения; мы будем считать эти варианты взаимозаменяемыми и использовать попеременно. Обратите внимание: индекс A (Алиса) или B (Боб), отмечающий принадлежность гильбертова пространства, помещается снаружи от кет-скобки. Если эти индексы опущены, то считается, что первый компонент тензорного произведения всегда относится к Алисе, а второй — к Бобу.