|a⟩ ⊗ (|b1⟩ + |b2⟩) = |a⟩ ⊗ |b1⟩ + |a⟩ ⊗ |b2⟩. (2.3b)
3. Скалярное произведение двух состояний |a⟩ ⊗ |b⟩ и |a'⟩ ⊗ |b'⟩ в 𝕍A ⊗ 𝕍B задается формулой
⟨ab| a'b'⟩ = ⟨a| a'⟩⟨b| b'⟩. (2.4)
Элементы 𝕍A ⊗ 𝕍B, которые могут быть представлены в виде тензорного произведения |a⟩ ⊗ |b⟩, называют разделимыми, или сепарабельными (separable). Остальные запутаны.
Упражнение 2.1. Для любых двух векторов |a⟩ ∈ 𝕍A и |b⟩ ∈ 𝕍B покажите, что 
Упражнение 2.2. Если заданы ортонормальные базисы 
и 
в 𝕍A и 𝕍B соответственно, постройте ортонормальный базис в 𝕍A ⊗ 𝕍B. Какова размерность 𝕍A ⊗ 𝕍B?
Ответ: множество тензорных произведений {|𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩} есть ортонормальный базис. Размерность составного пространства есть произведение NM размерностей его компонентов.
Например, гильбертово пространство, представляющее поляризации двух фотонов, четырехмерно. Канонический ортонормальный базис в этом пространстве таков: {|HH⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩}.
Упражнение 2.3. Найдите разложение в каноническом базисе для состояния, в котором Алиса имеет фотон, поляризованный под 30°, а фотон Боба находится в состоянии правой круговой поляризации. Напишите матричное представление для этого состояния. Разделимое оно или запутанное?
Упражнение 2.4. Найдите скалярное произведение ⟨Π|Ω⟩, где:
a) |Π⟩ = 5 |HH⟩ + 6i |R — ⟩ и |Ω⟩ = 2 |+L⟩ + 3 |RR⟩;
b) |Π⟩ = i (2 |H⟩ + i |V⟩) ⊗ |R⟩ и |Ω⟩ = (2i |H⟩ — 3i |V⟩) ⊗ |+⟩.
Упражнение 2.5§. Образуют ли множества
a) {|+ +⟩, |— +⟩, |+ —⟩, |— ⟩},
b) {|RR⟩, |RL⟩, |LR⟩, |LL⟩},
c) {|H — ⟩, |H+⟩, |V — ⟩, |V+⟩},
d) {|H — ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩},
e) {|H — ⟩, |HH⟩, |VR⟩, |VL⟩}
базисы в двухфотонном гильбертовом пространстве? Ортонормальны ли эти базисы?
Ответ: все пять множеств образуют базисы; все они, кроме последнего, ортонормальны.
Упражнение 2.6. Покажите, что белловские состояния
запутаны.
Упражнение 2.7. Покажите, что эти четыре белловских состояния образуют ортонормальный базис.
Упражнение 2.8. Перепишите белловские состояния (2.5) в диагональном базисе.
Упражнение 2.9. Пусть |θ⟩ — состояние линейной поляризации под углом θ к горизонтали. Покажите, что для любого θ состояние 
может быть выражено в виде:
Это означает, что состояние |Ψ—⟩ изотропно, т. е. остается неизменным вне зависимости от того, какое направление мы определим как горизонтальное (при условии что оно перпендикулярно направлению движения фотонов, разумеется). Этим свойством из всех белловских состояний обладает только |Ψ—⟩.
Постулат о квантовых измерениях применим к тензорным произведениям гильбертовых пространств в обычном режиме. Базис измерения может состоять как из разделимых, так и из запутанных состояний. Если базис построен в виде тензорного произведения базисов в 𝕍A и 𝕍B, как в упр. 2.2, то Алисе и Бобу нужно просто провести измерения в этих базисах в своих гильбертовых пространствах (рис. 2.1).
Отступление 2.1. Как создать запутанное состояние?
Рассмотрим параметрическое рассеяние (отступление 1.6) на последовательности двух нелинейных кристаллов, как показано на рисунке[38]. Кристаллы построены таким образом, что первый из них выдает только пары горизонтально поляризованных фотонов |H⟩ ⊗ |H⟩, а второй — только пары вертикально поляризованных |V⟩ ⊗ |V⟩. Вероятность появления пары мала в обоих кристаллах. Тогда любая пара, если она есть, может находиться либо в состоянии |HH⟩, либо в состоянии |VV⟩. Поскольку расстояние между кристаллами постоянно, постоянна и оптическая фаза между этими двумя парами. Так что состояние двух фотонов, выданных кристаллами, есть
38
В первый раз эта схема была предложена и реализована в: P. G. Kwiat, E. Waks, A. G. White, I. Appelbaum, and P. H. Eberhard,