|HH⟩ + eiϕ|VV⟩.
Выбирая величину ϕ, можно получить любое из белловских состояний |Φ+⟩ или |Φ—⟩. Чтобы превратить эти состояния в |Ψ+⟩ или |Ψ—⟩, достаточно поместить в один из выходных каналов полуволновую пластинку.
Упражнение 2.10. Для двух фотонов, приготовленных в состоянии 
найдите вероятность обнаружить состояние:
Считаем, что измерение выполняется в некотором ортонормальном базисе, в который входит интересующее нас состояние.
Упражнение 2.11. Алиса и Боб имеют общее состояние
a) Найдите вероятности всех результатов, если Алиса и Боб измерят |Ψ⟩ в (1) каноническом и (2) диагональном {|+ +⟩, |+ —⟩, |— +⟩, |— ⟩} базисах.
b) Алиса и Боб имеют общую единственную копию одного из белловских состояний, |Ψ—⟩ или |Ψ+⟩, но не знают, какого именно. Могут ли они выяснить это при помощи измерений в каноническом базисе? А в диагональном?
Важный вывод, который мы можем сделать из этого упражнения, состоит в том, что, хотя запутанные состояния могут возникать только при взаимодействии двух физических систем, их измерение (например, с целью отличить одно от другого) не требует не только взаимодействия, но даже проекции на запутанные состояния. Более того, можно провести полную квантовую томографию квантового состояния в составном гильбертовом пространстве при помощи измерений в базисах, содержащих только разделимые состояния. Мы покажем это строго в конце основного текста (упр. 5.78).
Упражнение 2.12*. Предложите процедуру выполнения измерения в базисе {|H— ⟩, |H+⟩, |VR⟩, |VL⟩}.
Подсказка: считайте, что Алиса и Боб связаны классическим каналом связи.
Расширим понятие тензорного произведения на операторы. Это расширение относительно прямолинейно: в операторе 
компонент Â действует на гильбертово пространство Алисы, а компонент 
— на гильбертово пространство Боба. Приведем формальное определение и выполним несколько упражнений.
Тензорное произведение оператора Â, который действует на 𝕍A, и оператора 
который действует на 𝕍B, определяется как линейный оператор на 𝕍A ⊗ 𝕍B, такой, что для любого вектора |Ψ⟩ = Σi λi |ai⟩ ⊗ |bi⟩
Упражнение 2.13. Выразите матрицу тензорного произведения оператора 
в базисе {|𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩} через матрицы операторов 
в соответствующих базисах {|𝑣i⟩} и {|ωj⟩}.
Ответ: для каждого элемента матрицы[39]
Упражнение 2.14. Найдите математическое ожидание и неопределенность оператора 
в состоянии 
Упражнение 2.15§. Предположим, что |𝑣⟩ и |ω⟩ — собственные состояния операторов с собственными значениями 𝑣 и ω соответственно. Покажите, что состояние |𝑣⟩ ⊗ |ω⟩ является собственным состоянием оператора с собственным значением 𝑣ω.
Упражнение 2.16. Покажите, что для операторов 
Упражнение 2.17§. Покажите, что тензорное произведение операторов не может сделать запутанное состояние из разделимого.
Упражнение 2.18. Для двух операторов внешнего произведения 
соответственно покажите, что
Понятие о тензорном произведении операторов красиво иллюстрируется таким значительным результатом, как теорема о запрете клонирования (no-cloning theorem)[40]. Предположим, у нас имеется два объекта, представленные идентичными гильбертовыми пространствами 𝕍A и 𝕍B, причем объект, представленный 𝕍A, находится в некотором произвольном квантовом состоянии |a⟩. Квантовое клонирование — гипотетическая операция, которая создавала бы копию |a⟩ в 𝕍B, сохраняя при этом оригинал в 𝕍A. Иными словами, она соответствует некоторому оператору на 𝕍A ⊗ 𝕍B, такому, что для любого |a⟩ ∈ 𝕍A и некоторого |0⟩ ∈ 𝕍B
39
Как правило, мы будем использовать интуитивно понятные двухиндексные обозначения для матриц состояний и операторов в составных гильбертовых пространствах. То есть каждый элемент |𝑣i⟩ ⊗ |ωj⟩ базиса тензорного произведения идентифицируется парой индексов (
40
W. Wootters, W. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299, 802 (1982); D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A 92, 271 (1982).