Упражнение 2.27. Предположим, что Алиса и Боб располагают состоянием |Ψ—⟩. Алиса измеряет свою часть состояния в базисе {|θ, |π/2 + θ⟩}. Покажите, что:
a) если Алиса обнаруживает |θ⟩, то состояние Боба становится |π/2 +θ⟩;
b) если Алиса обнаруживает |π/2 +θ⟩, то состояние Боба становится |θ⟩;
c) каждый из этих результатов наблюдается с вероятностью 1/2.
Подсказка: используйте свойство изотропности состояния |Ψ—⟩ (упр. 2.9).
Это поистине замечательный результат. Выбрав угол наклона базиса измерения q, Алиса может удаленно приготовить произвольное состояние линейной поляризации (с точностью до ±90º) в локации Боба. Так происходит несмотря на то, что Алиса и Боб находятся, возможно, в миллионах километров друг от друга и не имеют возможности общаться между собой. Более того, все происходит мгновенно, т. е. быстрее скорости света!
На первый взгляд, такое удаленное приготовление состояния (remote state preparation) откровенно противоречит специальной теории относительности и, мало того, принципу причинности (causality), который правит всей известной нам физикой и следует из самого что ни на есть фундаментального здравого смысла. Как можно менять что-то мгновенно на огромном расстоянии от себя, да еще при отсутствии какой-либо возможности взаимодействовать с той локацией?
Наверное, каждый прилежный студент-физик в этот момент первым делом спросит, был ли данный вывод проверен экспериментально. Ответ положительный. Чтобы провести этот эксперимент, исследователь многократно подготавливает состояние |Ψ—⟩ и проводит измерение Алисы, все время в одном и том же базисе. Каждый раз, когда Алиса обнаруживает, скажем, |θ⟩, экспериментатор измеряет поляризацию фотона Боба. По статистике этих измерений он может восстановить искомое состояние при помощи квантовой томографии (см. упр. 1.15) со сколь угодно высокой точностью.
За последнюю четверть века физики исследовали самые разные варианты эффекта удаленного приготовления состояния. Некоторые из экспериментов были организованы так, что лаборатории Алисы и Боба разделялись несколькими километрами, а измерения происходили гарантированно в пределах пространственноподобного интервала, чтобы исключить даже теоретическую возможность для Алисы повлиять на состояние Боба посредством каких бы то ни было известных в природе взаимодействий. Все эти эксперименты недвусмысленно подтверждают верность квантовых предсказаний.
Но как же примирить полученные данные с причинностью? Чтобы ответить на данный вопрос, дадим сначала формальное описание локального измерения.
Предположим, что Алиса и Боб располагают некоторым запутанным состоянием и что Алиса проводит локальное измерение своей части этого состояния в некотором базисе. Каковы вероятности возможных результатов и какое состояние будет удаленно подготовлено в локации Боба в случае каждого результата? Прежде чем ответить на этот вопрос в общем случае, рассмотрим пример. Пусть общее состояние
и предположим, что Алиса проводит измерение в диагональном базисе.
Упражнение 2.28. Перепишите состояние (2.12), выразив векторы состояния, соответствующие фотону Алисы, в диагональном базисе.
суть нормированные векторы в гильбертовом пространстве Боба.
Поскольку векторы |+⟩ и |—⟩ ортогональны, ортогональны также |+⟩ ⊗ |b+⟩ и |—⟩ ⊗ |b—⟩ в соответствии с уравнением (2.4). Это означает, что мы можем построить в 𝕍A ⊗ 𝕍B ортонормальный базис, содержащий упомянутые состояния в качестве элементов. Если мы измерим |Ψ⟩ в этом базисе, то получим |+⟩ ⊗ |b+⟩ с вероятностью 
с вероятностью 
Но это, в свою очередь, означает, что если только Алиса будет проводить измерение на своем фотоне, то она увидит состояние |+⟩ с вероятностью 
с вероятностью Действительно, если Алиса наблюдает у себя |+⟩, то состояние фотона Боба с определенностью становится |b+⟩, а если Алиса наблюдает |—⟩, оно становится |b—⟩.
Мы видим, что для ответа на вопрос, поставленный в начале этого подраздела, достаточно переписать начальное запутанное состояние в виде линейной комбинации таких тензорных произведений, в каждом из которых компонент Алисы представляет собой элемент ее измерительного базиса. Проведем то же рассуждение в более общем виде.