b) Считая, что Алиса производит свое измерение первой, найдите вероятности и удаленно приготовленные состояния фотона Боба для каждого из ее результатов. Затем предположите, что Боб измеряет каждое из этих удаленно приготовленных состояний и определите соответствующие вероятности. Используйте эту информацию, чтобы оценить prHH, prHV, prVH и prVV, и убедитесь, что они получились такими же, как в пункте a).
c) § Повторите пункт b) для случая, когда Боб производит свое измерение первым.
Упражнение 2.43. Для каждого из сценариев упр. 2.41 покажите, что для Боба суммарная вероятность увидеть состояние |ωj⟩ составляет ║⟨ωj | Ψ⟩║2.
Приведенные результаты означают, что без знания результата измерения Алисы физические свойства фотона Боба не меняются, так что Боб не может извлечь вообще никакой информации о действиях Алисы. Хотя мгновенное удаленное приготовление состояния предсказывается теорией и подтверждается экспериментом, оно не может быть использовано для сверхсветовой бесконтактной связи. Квантовая механика наводит нас на противоположную мысль, утверждая, что состояние Боба после измерения Алисы зависит от условий измерения. Но квантовое состояние — это чисто теоретический конструкт, его невозможно непосредственно наблюдать в эксперименте. Мы можем получить информацию о состоянии только косвенным путем, из статистики, полученной в многочисленных измерениях.
Так, может быть, от всех этих парадоксов получится уйти, вообще отказавшись от концепции квантового состояния и придумав другую теорию, которая столь же хорошо объясняла бы экспериментальные результаты, но не содержала бы теоретических концепций, противоречащих здравому смыслу? Ответ на этот вопрос мы найдем в разд. 2.3. А пока давайте обсудим еще один парадокс, который позволяет взглянуть на проблему под еще более острым углом. Рассмотрим следующий сценарий:
1. Алиса и Боб имеют множество общих копий состояния |Ψ—⟩.
2. Над каждой копией сначала Боб производит измерение в каноническом, диагональном или круговом базисе (он выбирает случайным образом). Затем Алиса измеряет свой фотон в базисе {|θ⟩, |π/2 + θ⟩} и сообщает результат Бобу.
3. После того как все измерения завершены, Боб восстанавливает квантовое состояние своего фотона по данным, которые он записал с использованием метода квантовой томографии (упр. 1.15), принимая «задним числом» во внимание (постселектируя) только те события, в которых Алиса измерила |θ⟩.
Если бы измерения Боба происходили после измерений Алисы, то он благодаря явлению удаленного приготовления состояния восстановил бы состояние как |π/2 + θ⟩. Но мы уже знаем из упр. 2.41, что коррелирующие вероятности результатов Алисы и Боба не зависят от порядка измерений. То есть Боб получит в точности ту же статистику результатов своих измерений — те же prH, prV, pr+, pr —, prR, prL — вне зависимости от того, делаются его измерения до или после измерений Алисы, и восстановит, следовательно, то же состояние |π/2 + θ⟩. Получается, что эффект удаленного приготовления состояния наблюдается даже после того, как Боб измерил и тем самым разрушил свой фотон.
Упражнение 2.44*. Покажите, что, если бы квантовое клонирование было возможно, возможна была бы и сверхсветовая связь.
Подсказка: используйте удаленное приготовление и квантовую томографию.
Теперь рассмотрим ситуацию, в которой Алиса теряет свою долю запутанного состояния или просто отказывается сообщить нам о результатах своих измерений. Фотон поглощается на пути к детектору Алисы, или детектор отказывает, или фотон попросту улетает от Алисы в окно лаборатории и дальше в небо, где его, возможно, измерят какие-нибудь инопланетяне. Что мы можем сказать в этом случае о квантовом состоянии фотона[43] Боба?
Мы знаем одно (упр. 2.41): что бы ни происходило с фотоном Алисы, экспериментально измеряемые свойства фотона Боба не меняются. Поэтому если нас интересует описание фотона Боба, то мы можем сделать любое удобное нам предположение о судьбе фотона Алисы. Будем считать, что Алиса измерила свой фотон в каноническом базисе и не сообщила нам результат.
Предполагая еще раз, что начальным состоянием является |Ψ—⟩, мы знаем, что Алиса может обнаружить при этом либо |H⟩ (в таком случае фотон Боба проецируется на |V⟩), либо |V⟩ (а в этом случае фотон Боба проецируется на |H⟩). Но, поскольку результат Алисы нам неизвестен, мы можем описать состояние фотона Боба только словесно как ансамбль «либо |H⟩ с вероятностью 1/2, либо |V⟩ с вероятностью 1/2».
43
Возможно, кому-то захочется ответить, что когда фотон Алисы пропадает из состояния, к примеру, 
то фотон Боба приобретает состояние 
Это, разумеется, неверно. Чтобы убедиться в этом, вспомните упр. 2.9, где мы выяснили, что |Ψ—⟩ можно также записать, как (|+ —⟩ — |— +⟩)/2. Это означает, что фотон Боба с равной вероятностью может находиться в состояниях |+⟩ и |—⟩.