Обратите внимание: утверждение, сделанное выше, неверно, если принцип локальности не работает — например, если MA зависит не только от λA, но также от того, какую кнопку нажал Боб. Эта зависимость сделала бы неверным (2.25), а следовательно, и (2.26).
Упражнение 2.47. Выведите неравенство Белла
|⟨MAMB — MANB + NAMB + NANB⟩| ≤ 2 (2.27)
для любого прибора, передняя панель которого представлена на рис. 2.3.
Подсказка: перепишите (2.26) как ⟨S⟩ = ⟨MA (MB — NB) + NA (MB + NB)⟩.
Это неравенство применимо и к любому локально-реалистичному устройству с передней панелью Белла (рис. 2.2). И в самом деле, если бы оно не выполнялось для такой установки, оно нарушалось бы также и для ее эквивалента на рис. 2.3, а мы только что показали, что это невозможно.
Подчеркну еще раз, что наш вывод не опирается ни на какие предположения о физике частиц или измерительных устройств, но только на самые общие принципы причинности и локального реализма.
Теперь мы опишем конкретную экспериментальную установку, передняя панель которой соответствует данному выше описанию, но которая при этом нарушает неравенство Белла. Две частицы, полученные Алисой и Бобом, — это два фотона в белловском состоянии |Ψ—⟩. Устройство приема и у Алисы, и у Боба состоит из полуволновой пластинки, за которой следует PBS с двумя детекторами фотонов в выходных каналах (рис. 2.1). Когда Алиса и Боб нажимают свои кнопки, волновые пластинки устанавливаются на угол θ/2, где величина θ задается табл. 2.1. Детекторы подключены к экрану, так что регистрация фотона в пропущенном (отраженном) канале приводит к появлению на экране числа +1 (–1). Это эквивалентно тому, что и Алиса, и Боб измеряют наблюдаемое
В следующих упражнениях мы вычислим квантовое предсказание статистики результатов этих измерений, из которого сможем определить математическое ожидание наблюдаемого S.
Упражнение 2.48. Напишите наблюдаемое (2.28) в нотации Дирака в каноническом базисе.
Упражнение 2.49. Вычислите математические ожидания для следующих операторов в состоянии |Ψ—⟩:
Подсказка: чтобы снизить объем вычислений, используйте изотропность |Ψ—⟩ (упр. 2.9).
Таким образом, мы видим, что, согласно квантовой механике, математическое ожидание S равно
а это нарушает неравенство Белла (2.27).
Данный результат завершает аргументацию Белла, которая дает нам в руки инструменты для экспериментальной проверки гипотезы Эйнштейна — Подольского — Розена.
Экспериментальные проверки неравенства Белла начались вскоре после того, как оно было сформулировано, и продолжаются до сих пор. Все они свидетельствуют в пользу квантовой механики. Однако все эксперименты, проведенные до недавнего времени, содержали прорехи — дополнительные предположения, которые приходилось делать, чтобы исключить локальное реалистичное объяснение полученных результатов. Во время написания этой книги, в 2015 г., появились сообщения о трех экспериментах, в которых все значительные прорехи были закрыты (отступление 2.3).
Существует два основных типа прорех. Прореха локальности (locality loophole) возникает, если наблюдатели находятся слишком близко друг к другу (например, на одном оптическом столе) и не принимают свои решения — M или N — достаточно быстро. В этом случае они, по крайней мере теоретически, могут влиять друг на друга. В экспериментах, в которых эта прореха ликвидирована, лаборатории Алисы и Боба располагаются в сотнях метров или даже километрах друг от друга. Чтобы принять решение о базисе, Алиса и Боб используют быстрые генераторы случайных чисел, основанные, как правило, на квантовых принципах. Вместо вращения волновых пластинок они меняют базисы своих измерений при помощи электрооптических модуляторов — оптических элементов, двупреломление в которых можно контролировать в пределах нескольких наносекунд при помощи приложенного напряжения. Таким способом решения, сделанные двумя сторонами, разделены пространственноподобным интервалом, предотвращающим всякую коммуникацию между ними.