Рисунок 3.1. Проблема девяти точек
Как видите, проблема девяти точек имеет решение. Вместе с тем людям обычно чрезвычайно трудно найти это решение, и многие так его и не находят, как ни стараются. Анализ хода решения объясняет эти трудности. Большинство людей на протяжении всех своих попыток придерживаются убеждения, что проводимые линии должны быть ограничены контуром квадрата, образуемого девятью точками. В поисках решения они не позволяют себе выходить за границы области, занятой точками, и хотя ничто в условии задачи на подобные ограничения не указывает, большинство людей исходят из того, что такое ограничение в условии существует.
Данная задача не может быть решена, если четыре упомянутые линии ограничиваются пределами области, образуемой точками. Иначе говоря, устанавливая для себя ненужное и никем не требуемое ограничение, люди делают проблему неразрешимой. Это классический пример того, как неоптимальное определение проблемы способно уменьшить или, как в этом случае, вообще свести на нет шансы на ее решение. Люди, к сожалению, поступают таким образом очень часто, что и демонстрирует задача с девятью точками. Разумеется, простое знание того, что выходить за границы области можно, само по себе не решает задачу, и она по-прежнему будет представлять сама по себе некоторую сложность. Смысл, однако, заключается в том, что, пока вы не осознаете возможность выхода за границы области при построении линий, проблема остается для вас вовсе неразрешимой. Урок, который следует отсюда извлечь: не нужно накладывать на свое решение ограничения, которые не свойственны самой проблеме и не упоминаются в условии задачи.
Монах желает провести время в занятиях и размышлениях в укромном месте на вершине горы. Он начинает подъем на гору в 7 часов утра и достигает вершины в 5 часов вечера. На протяжении всего подъема монах движется с разной скоростью, а также делает одну остановку, чтобы поесть. Затем он весь вечер проводит в своих занятиях и размышлениях, а на следующий день начинает спуск с горы снова в 7 часов утра, причем следует тем же маршрутом. В нормальных условиях спуск был бы быстрее, чем подъем, но поскольку он устал и опасается поскользнуться и упасть, то спускается очень медленно и у подножия оказывается не раньше 5 часов вечера. На рис. 3.2 показан маршрут движения монаха. Вопрос: обязательно ли на маршруте движения монаха имеется точка, которую он миновал в один и тот же час в день подъема и в день спуска? Если да, предложите убедительное доказательство, что это именно так. Если нет, объясните почему. Не читайте далее, пока не откажетесь от попыток решить эту задачу. Только после этого взгляните на решение (рис. 3.7), помещенное в конце главы.
Рис. 3.2. Задача о монахе
То, что монах минует определенную точку (высоту) на маршруте в один и тот же час в день подъема и в день спуска, — совершенно непреложный факт. Рисунок с решением показывает, почему это так. Задачу становится гораздо легче осознать, если вместо того, чтобы представлять себе одного и того же монаха, в один день совершающего подъем, а на следующий спускающегося с горы, вы представи-ге себе двух разных монахов, в один и тот же день идущих навстречу друг другу: один — наверх, другой — вниз. Можно предположить, что оба монаха начинают свое движение в одно и то же время, хотя такое требование на деле окапывается необязательным для решения задачи. Заметим, что при переосмыслении задачи спуск монаха на следующий день трансформируется в спуск второго монаха в тот же день, когда первый монах совершает подъем. Такая реконцептуализация не меняет существа задачи, а лишь облегчает достижение ее решения.
Теперь заметим, что, если бы монахов действительно было двое, их пути обязательно бы пересеклись. Точка, в которой пересекаются пути подъема и спуска двух монахов, как раз и будет той точкой, в которой «пересекаются» (во времени) пути, проделанные монахом из условия задачи, при подъеме и спуске. В терминах переформулированной задачи решением будет точка, где встречаются два монаха. Ясно, что они приходят в эту точку в один и тот же час. Таким образом, благодаря переосмыслению задачи стало просто легче понять, как такое может быть, чтобы монах два дня подряд оказался в одно и то же время в одном и гом же месте.
В отличие от задачи с девятью точками, задача монаха разрешима и в своем оригинальном виде. Доказать, что монах два дня подряд оказывается в одно и то же время в одном и том же месте, можно, и не прибегая к реконцеп-іуализации задачи. Однако переопределение проблемы существенно облегчает ее решение, потому что оно проясняет важный элемент решения.