Выбрать главу

Przesunąłem butelkę i trochę ją obróciłem.

— Teraz.

— Teraz. Teraz. Teraz…

— Taki zbiór punktów w przestrzeni konfiguracyjnej uzyskałbym po przypadkowym kopnięciu butelki, która obracając się, ślizgałaby się na podłodze. Zgodzisz się ze mną?

— No jasne, sam o czymś takim pomyślałem.

— Poruszałem nią w zwolnionym tempie, żebyś nadążył z rejestracją danych.

Barb nie bardzo wiedział, jak zareagować na tę słabiutką namiastkę żartu, więc po chwili niezręcznego milczenia mówiłem dalej:

— Mógłbyś zrobić wykres tych punktów? Trójwymiarowy?

— Oczywiście — przytaknął bez przekonania Barb. — Ale będzie trochę dziwny…

— Linia przerywana na dole ilustruje zmiany położenia butelki w płaszczyźnie (x,y) — wyjaśnił. — Jej ślad na podłodze.

— Rozumiem. Dobrze, że to zaznaczyłeś; w przeciwnym razie dla osoby nieobeznanej z przestrzenią konfiguracyjną mogłoby to być trochę niejasne. Ta część, trajektoria butelki w płaszczyźnie podłogi, zaznaczona linią przerywaną, to nic nowego: znamy takie rysunki ze zwykłej przestrzeni adrakhonejskiej. Za to nasz trzeci wymiar, kąt, to zupełnie inna historia. Nie pokazuje odległości w przestrzeni, tylko przemieszczenie kątowe butelki, inaczej mówiąc: jej obrót. Kiedy już to zrozumiesz, możesz tę informację odczytać z wykresu i powiedzieć: „No tak, zaczęła od dwudziestu stopni i ślizgając się po podłodze, doszła z obrotem do ponad trzystu”. Jednak dopóki nie znasz tego szyfru, wykres jest dla ciebie bezużyteczny.

— A do czego może być użyteczny?

— Wyobraź sobie, że zagadnienie jest bardziej skomplikowane niż butelka na podłodze. Powiedzmy, że dołączy do niej ziemniak. Wtedy do opisania stanu układu ziemniak-butelka będziesz potrzebował dziesięciowymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej.

— Dziesięciowymiarowej?!

— Pięć dla butelki, pięć dla ziemniaka.

— Ale dlaczego pięć? Do opisu butelki wystarczyły nam trzy!

— Tylko dlatego, że trochę oszukujemy. Pomijamy dwa rotacyjne stopnie swobody.

— To znaczy…?

Przykucnąłem i wziąłem butelkę do ręki. Leżała zwrócona etykietą do ziemi. Odwróciłem ją.

— Widzisz? Obracam ją wokół osi, żeby odczytać etykietkę. Taki obrót jest całkowicie niezależny od obrotów wywołanych kopnięciem. Dlatego potrzebujemy dodatkowego wymiaru, żeby go zapisać. Przybywa nam jedna kolumna na tabliczce. — Chwyciłem butelkę za szyjkę i przyciskając denko do podłogi, podniosłem ją skośnie, jak miniaturową armatę. — A to kolejny przykład niezależnego obrotu.

— Czyli samą butelkę opisujemy pięcioma liczbami — podsumował Barb.

— Właściwie dla pełnego uogólnienia przydałoby się sześć, żeby zachować informację o jej przesunięciu w pionie. — Podniosłem butelkę. — Jak widzisz, potrzebne nam jest sześć wymiarów przestrzeni konfiguracyjnej, żeby przedstawić położenie i orientację butelki. — Odłożyłem butelkę na podłogę. — Ale jeśli nie będziemy jej podnosić, wystarczy pięć.

— Rozumiem — powiedział Barb. Mówił tak tylko wtedy, kiedy naprawdę wszystko było dla niego jasne.

— Cieszę się, że tak uważasz. Rozumowanie w sześciu wymiarach nie jest proste.

— Będę miał po prostu sześć kolumn liczb na tabliczce zamiast trzech. Nie rozumiem tylko, dlaczego do opisania ziemniaka potrzebujemy sześciu nowych wymiarów. Nie moglibyśmy po prostu wykorzystać tych od butelki?

— W pewnym sensie tak właśnie robimy, tylko zapisujemy wartości w osobnych kolumnach. Dzięki temu jeden wiersz tabeli w pełni opisuje układ ziemniak-butelka w danym momencie; każdy taki wiersz, czyli ciąg dwunastu liczb — x, y i z butelki, kąt obrotu po kopnięciu, kąt obrotu do odczytania etykiety oraz kąt podniesienia nad podłogę — to jeden punkt w dwunastowymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Jej przydatność dla teorów staje się oczywista, kiedy łączymy takie punkty, tworząc w niej trajektorie.

— Trajektoria kojarzy mi się z czymś, co lata w powietrzu — wtrącił Barb. — Nie bardzo rozumiem, czym miałaby być trajektoria w tej dwunastowymiarowej przestrzeni, która wcale przestrzeni nie przypomina.

— Uprośćmy sprawę maksymalnie — zaproponowałem. — Ograniczmy ruch do osi x i darujmy sobie obroty.

Ułożyłem ziemniak i butelkę w taki sposób:

— Możesz zapisać na tabliczce ich pozycje? — poprosiłem.

— Się robi — odparł Barb i po chwili pokazał mi coś takiego:

— Zrobimy teraz małe zderzenie — zapowiedziałem. — W zwolnionym tempie, rzecz jasna. Zapisuj położenie, z łaski swojej.

Podobnie jak chwilę wcześniej, zacząłem po kawałku przesuwać butelkę i ziemniak, pokrzykując „Teraz!” za każdym razem, kiedy chciałem, żeby Barb dodał nowy wiersz w tabeli.

— Butelka przemieszcza się szybciej — zauważył Barb.

— To prawda. Dwa razy szybciej.

Zatrzymałem ziemniak na butelce w pozycji 3.

— Zderzyły się — powiedziałem. — Teraz się odbiją, ale będą się poruszać wolniej, ponieważ ziemniak się rozpłaszczył i część energii została stracona.

Z moją małą pomocą Barb wypełnił tabelkę w taki oto sposób:

— Proszę bardzo. — Odłożyłem oba pociski i wstałem. — Całe to zderzenie odbyło się na linii prostej. Gdyby cofnąć się do współrzędnych saunta Lespera, można by powiedzieć, że mamy sytuację jednowymiarową. Natomiast saunt Hemn proponuje w tym miejscu woltę, która może ci się wydać dziwna: dla niego każdy wiersz tej tabeli określa punkt w dwuwymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej.

— Każdą parę liczb traktuje jak punkt — przełożył to sobie Barb. — Zaczynając od (7,1).

— Zgadza się. Możesz to narysować?

— Pewnie. To banalnie proste.

— Jakie to dziwne! — wykrzyknął Barb. — Tak jakby saun Hemn wywrócił całą tę sytuację na nice!

— Daj kredę. Dorobię opis, który pomoże ci to zrozumieć.

Chwilę później patrzyliśmy na coś takiego:

— Linia zderzeń jest zbiorem stanów, w których butelka i ziemniak znajdują się w tym samym miejscu, czyli mają takie same współrzędne — tłumaczyłem. — Każdy teor, który zobaczyłby ten wykres, stwierdziłby, że jest to linia szczególna, nawet gdyby nie miał pojęcia o całym układzie, którym się zajmujemy: butelce, ziemniaku i podłodze. Stan układu zmienia się w sposób uporządkowany i przewidywalny do momentu zetknięcia z tą linią, kiedy to dzieje się coś niezwykłego. Trajektoria gwałtownie zakręca. Tworzące ją punkty zagęszczają się, co oznacza, że obiekty poruszają się wolniej, a to z kolei świadczy o tym, że wytraciły część energii. Nie jest to pewnie szczególnie zaskakujące wnioskowanie, ale może teraz zrozumiesz, dlaczego teorowie, rozważając układy fizyczne, chętnie umieszczają je w przestrzeniach konfiguracyjnych.