Przesunąłem butelkę i trochę ją obróciłem.
— Teraz.
— Teraz. Teraz. Teraz…
— Taki zbiór punktów w przestrzeni konfiguracyjnej uzyskałbym po przypadkowym kopnięciu butelki, która obracając się, ślizgałaby się na podłodze. Zgodzisz się ze mną?
— No jasne, sam o czymś takim pomyślałem.
— Poruszałem nią w zwolnionym tempie, żebyś nadążył z rejestracją danych.
Barb nie bardzo wiedział, jak zareagować na tę słabiutką namiastkę żartu, więc po chwili niezręcznego milczenia mówiłem dalej:
— Mógłbyś zrobić wykres tych punktów? Trójwymiarowy?
— Oczywiście — przytaknął bez przekonania Barb. — Ale będzie trochę dziwny…
— Linia przerywana na dole ilustruje zmiany położenia butelki w płaszczyźnie (x,y) — wyjaśnił. — Jej ślad na podłodze.
— Rozumiem. Dobrze, że to zaznaczyłeś; w przeciwnym razie dla osoby nieobeznanej z przestrzenią konfiguracyjną mogłoby to być trochę niejasne. Ta część, trajektoria butelki w płaszczyźnie podłogi, zaznaczona linią przerywaną, to nic nowego: znamy takie rysunki ze zwykłej przestrzeni adrakhonejskiej. Za to nasz trzeci wymiar, kąt, to zupełnie inna historia. Nie pokazuje odległości w przestrzeni, tylko przemieszczenie kątowe butelki, inaczej mówiąc: jej obrót. Kiedy już to zrozumiesz, możesz tę informację odczytać z wykresu i powiedzieć: „No tak, zaczęła od dwudziestu stopni i ślizgając się po podłodze, doszła z obrotem do ponad trzystu”. Jednak dopóki nie znasz tego szyfru, wykres jest dla ciebie bezużyteczny.
— A do czego może być użyteczny?
— Wyobraź sobie, że zagadnienie jest bardziej skomplikowane niż butelka na podłodze. Powiedzmy, że dołączy do niej ziemniak. Wtedy do opisania stanu układu ziemniak-butelka będziesz potrzebował dziesięciowymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej.
— Dziesięciowymiarowej?!
— Pięć dla butelki, pięć dla ziemniaka.
— Ale dlaczego pięć? Do opisu butelki wystarczyły nam trzy!
— Tylko dlatego, że trochę oszukujemy. Pomijamy dwa rotacyjne stopnie swobody.
— To znaczy…?
Przykucnąłem i wziąłem butelkę do ręki. Leżała zwrócona etykietą do ziemi. Odwróciłem ją.
— Widzisz? Obracam ją wokół osi, żeby odczytać etykietkę. Taki obrót jest całkowicie niezależny od obrotów wywołanych kopnięciem. Dlatego potrzebujemy dodatkowego wymiaru, żeby go zapisać. Przybywa nam jedna kolumna na tabliczce. — Chwyciłem butelkę za szyjkę i przyciskając denko do podłogi, podniosłem ją skośnie, jak miniaturową armatę. — A to kolejny przykład niezależnego obrotu.
— Czyli samą butelkę opisujemy pięcioma liczbami — podsumował Barb.
— Właściwie dla pełnego uogólnienia przydałoby się sześć, żeby zachować informację o jej przesunięciu w pionie. — Podniosłem butelkę. — Jak widzisz, potrzebne nam jest sześć wymiarów przestrzeni konfiguracyjnej, żeby przedstawić położenie i orientację butelki. — Odłożyłem butelkę na podłogę. — Ale jeśli nie będziemy jej podnosić, wystarczy pięć.
— Rozumiem — powiedział Barb. Mówił tak tylko wtedy, kiedy naprawdę wszystko było dla niego jasne.
— Cieszę się, że tak uważasz. Rozumowanie w sześciu wymiarach nie jest proste.
— Będę miał po prostu sześć kolumn liczb na tabliczce zamiast trzech. Nie rozumiem tylko, dlaczego do opisania ziemniaka potrzebujemy sześciu nowych wymiarów. Nie moglibyśmy po prostu wykorzystać tych od butelki?
— W pewnym sensie tak właśnie robimy, tylko zapisujemy wartości w osobnych kolumnach. Dzięki temu jeden wiersz tabeli w pełni opisuje układ ziemniak-butelka w danym momencie; każdy taki wiersz, czyli ciąg dwunastu liczb — x, y i z butelki, kąt obrotu po kopnięciu, kąt obrotu do odczytania etykiety oraz kąt podniesienia nad podłogę — to jeden punkt w dwunastowymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Jej przydatność dla teorów staje się oczywista, kiedy łączymy takie punkty, tworząc w niej trajektorie.
— Trajektoria kojarzy mi się z czymś, co lata w powietrzu — wtrącił Barb. — Nie bardzo rozumiem, czym miałaby być trajektoria w tej dwunastowymiarowej przestrzeni, która wcale przestrzeni nie przypomina.
— Uprośćmy sprawę maksymalnie — zaproponowałem. — Ograniczmy ruch do osi x i darujmy sobie obroty.
Ułożyłem ziemniak i butelkę w taki sposób:
— Możesz zapisać na tabliczce ich pozycje? — poprosiłem.
— Się robi — odparł Barb i po chwili pokazał mi coś takiego:
— Zrobimy teraz małe zderzenie — zapowiedziałem. — W zwolnionym tempie, rzecz jasna. Zapisuj położenie, z łaski swojej.
Podobnie jak chwilę wcześniej, zacząłem po kawałku przesuwać butelkę i ziemniak, pokrzykując „Teraz!” za każdym razem, kiedy chciałem, żeby Barb dodał nowy wiersz w tabeli.
— Butelka przemieszcza się szybciej — zauważył Barb.
— To prawda. Dwa razy szybciej.
Zatrzymałem ziemniak na butelce w pozycji 3.
— Zderzyły się — powiedziałem. — Teraz się odbiją, ale będą się poruszać wolniej, ponieważ ziemniak się rozpłaszczył i część energii została stracona.
Z moją małą pomocą Barb wypełnił tabelkę w taki oto sposób:
— Proszę bardzo. — Odłożyłem oba pociski i wstałem. — Całe to zderzenie odbyło się na linii prostej. Gdyby cofnąć się do współrzędnych saunta Lespera, można by powiedzieć, że mamy sytuację jednowymiarową. Natomiast saunt Hemn proponuje w tym miejscu woltę, która może ci się wydać dziwna: dla niego każdy wiersz tej tabeli określa punkt w dwuwymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej.
— Każdą parę liczb traktuje jak punkt — przełożył to sobie Barb. — Zaczynając od (7,1).
— Zgadza się. Możesz to narysować?
— Pewnie. To banalnie proste.
— Jakie to dziwne! — wykrzyknął Barb. — Tak jakby saun Hemn wywrócił całą tę sytuację na nice!
— Daj kredę. Dorobię opis, który pomoże ci to zrozumieć.
Chwilę później patrzyliśmy na coś takiego:
— Linia zderzeń jest zbiorem stanów, w których butelka i ziemniak znajdują się w tym samym miejscu, czyli mają takie same współrzędne — tłumaczyłem. — Każdy teor, który zobaczyłby ten wykres, stwierdziłby, że jest to linia szczególna, nawet gdyby nie miał pojęcia o całym układzie, którym się zajmujemy: butelce, ziemniaku i podłodze. Stan układu zmienia się w sposób uporządkowany i przewidywalny do momentu zetknięcia z tą linią, kiedy to dzieje się coś niezwykłego. Trajektoria gwałtownie zakręca. Tworzące ją punkty zagęszczają się, co oznacza, że obiekty poruszają się wolniej, a to z kolei świadczy o tym, że wytraciły część energii. Nie jest to pewnie szczególnie zaskakujące wnioskowanie, ale może teraz zrozumiesz, dlaczego teorowie, rozważając układy fizyczne, chętnie umieszczają je w przestrzeniach konfiguracyjnych.