1 — 0 = 1
1 — 1 = 0
Например:
Несмотря на то что эти знакомые методы прекрасно работают, при реализации их в цифровых схемах возникает ряд проблем:
• Что делать, если вычитаемое меньше уменьшаемого?
• Как нам различать положительные и отрицательные числа?
• Можно ли выполнить вычитание с помощью блока суммирования?
Чтобы понять суть описанных проблем, взгляните на следующий пример:
Обычно, если мы знаем, что уменьшаемое меньше вычитаемого, мы меняем операнды местами и добавляем знак минуса к результату, т. е. вычисляем выражение — (вычитаемое — уменьшаемое). Если мы не выполним такой перестановки, как показано в примере (а), приведенном выше, то результат окажется неверным. На самом деле число 41 является правильным в том смысле, что представляет собой разность между числом 59 (правильный результат) и 100. То есть число 41 представляет собой дополнительный код числа 59 в десятичной системе (10’s complement). Более того, сам факт заема из старшего разряда числа указывает на то, что результат операции отрицателен и представлен соответственно в дополнительном коде. Для преобразования числа, представленного в дополнительном коде, в «нормальный» вид достаточно просто проинвертировать каждый десятичный разряд и к полученному значению прибавить единицу. Инвертирование десятичного разряда заключается в вычитании его значения из 9. Таким образом, дополнительный код числа 3941 в десятичной системе равен —6059:
Как бы там ни было, единственной причиной, по которой мы не оставляем отрицательные числа в дополнительном коде, является непривычность для нас такого представления чисел.
Разумеется, использование дополнительного кода для представления отрицательных значений применимо и к двоичным числам. Причем, простота инвертирования (0 —> 1, 1 —> 0) делает этот метод очень привлекательным. Обратимся к приведенному выше примеру:
И опять же отрицательные числа следует оставлять в дополнительном коде (2’s complement)[17]. Обратите внимание, что операция преобразования в дополнительный код является обратимой, т. е.
дополнительный код <=> прямой код.
При работе с десятичными числами для обозначения положительных и отрицательных чисел используются знаки «+» и «—» соответственно. В системе же с двумя состояниями мы можем оперировать только единицами и нулями. Тем не менее, взглянув на последний пример, можно получить ключ к решению этой проблемы. Как уже было сказано, отрицательное значение получается в результате заема в старший разряд числа. Так что мы можем использовать этот разряд в качестве знакового бита (sign bit), причем 0 будет эквивалентен знаку «+», а 1 — знаку «—». Таким образом, число Ь’11000101’ будет соответствовать значению —59, а Ь’00111011’ — значению +59 (в примерах знаковый бит выделен полужирным шрифтом). Преимущество такого представления заключается в том, что при любых арифметических операциях с ним можно обращаться так же, как и с обычным битом. При этом результат операции будет иметь верный знак:
Из примера видно, что если отрицательное число представлено в дополнительном коде, то нам не нужно изобретать аппаратный «вычитатель», поскольку прибавление отрицательного числа эквивалентно вычитанию положительного. Другими словами, А — В = А + (—В). Более того, если числа будут записаны в дополнительном коде, результаты всех последующих арифметических операций также будут в дополнительном коде.
С арифметическими операциями над отрицательными числами, представленными в дополнительном коде, связаны две проблемы. Первая из этих проблем — переполнение (overflow). Она заключается в том, что при сложении двух положительных или двух отрицательных чисел может возникнуть переполнение в знаковом бите, например:
а) Сумма двух положительных чисел б) Сумма двух отрицательных чисел получается отрицательной получается положительной
В примере (а) результат сложения (+8) + (+11) равен —13. В данном случае произошло переполнение из четвертого значащего бита в знаковый (в действительности число 10011b = 19 является корректным результатом). В примере (б) показана та же ситуация при сложении двух отрицательных чисел. Переполнение может возникнуть только в том случае, если оба операнда имеют одинаковые знаковые биты. Поэтому для обнаружения переполнения следует отслеживать значение знакового бита результата, отличающееся от значения знаковых битов операндов. Логическая схема, реализующая обнаружение переполнения, показана на Рис. 1.5.
17
Если вы введете в программе «Калькулятор» Microsoft Windows десятичное отрицательное число и переключитесь в двоичную систему, то это число будет отображено в дополнительном коде.