Из лекций по математике особенно важными для будущего оказались лекции по матричному счислению, которые он слушал у Якоба Розанеса. Они дали Борну первое представление об алгебраическом методе высшей математики, который имеет дело не с отдельными числами, а со множеством чисел и функций одновременно, расположенных в прямоугольной, составленной из строк и колонок схеме-матрице.
Матричное счисление было в то время принадлежностью лишь чистой математики. В естествознании оно еще не использовалось. Поэтому большинству физиков оно было незнакомо. Дело обстояло точно так же, как с неевклидовой геометрией Римана, которая до релятивистского учения Эйнштейна о гравитации была чисто умозрительным построением, занимавшим только математиков. Но подобно тому, как геометрия Римана в 1915 году неожиданно получила благодаря Эйнштейну космологическое значение, матричное счисление спустя десять лет благодаря Борну приобрело огромное значение для микрофизики.
Свой первоначальный план стать астрономом юный студент вскоре оставил, так как его не удовлетворяла вычислительная астрономия, единственная, которой обучали в Бреслау. Он посещал также другие высшие школы.
"В тот период, - писал Борн в своих воспоминаниях, - немецкие студенты (обычно по различным мотивам) переходили из одного университета в другой. Иногда их привлекали знаменитые профессора или хорошо оборудованные лаборатории; в других случаях - красоты города, его музеи, концерты, театры, зимний спорт, карнавалы и вообще веселая жизнь. Так я провел два летних семестра в Гейдельберге и Цюрихе, возвращаясь на зиму в мой родной университет".
Во время своего гейдельбергского семестра Макс Борн слушал лекции математика Лео Кёнигсбергера, который, правда, более известен в истории науки своей трехтомной документальной биографией Гельмгольца, чем своими заслугами в математике. К этому периоду относится и зарождение дружбы Борна с Джеймсом Франком, в это же время начинавшим в Гейдельберге свое обучение. В статье, написанной по случаю дня рождения Борна, Франк вспоминал о тех временах, когда "более 60 лет назад" он познакомился с Борном в первые дни своего первого семестра у Кёнигсбергера.
"Ты сразу произвел на меня большое впечатление, дорогой Макс, говорится в поздравлении Франка. - Передо мной был молодой человек одного со мной возраста. Но за его плечами было уже два семестра учебы, в то время как я из-за моей мечтательности вынужден был еще год заниматься повторением школьного курса; он знал, чего хотел, был во всех отношениях более зрелым, чем я, и уже считался отличным математиком. Все это не помешало нам, однако, вскоре стать друзьями. Было ли это следствием того, что он почувствовал во мне такое же стремление к изучению законов природы, которые испытывал сам? Или следствием его ума и доброты, с которыми он наблюдал, слегка забавляясь, но с неподдельным интересом за моими попытками сориентироваться? Или же нас привлекали друг в друге наши различия?"
В следующем летнем семестре в Цюрихе Борна, по его собственным словам, особенно увлекли лекции математика Адольфа Гурвица, который за несколько лет до этого был учителем Эйнштейна и в последний момент отказал своему ученику в освободившемся месте ассистента, чем очень оскорбил Эйнштейна. Сейчас мы можем сказать - к счастью, для будущего создателя теории относительности.
Однако решающим для развития Борна как ученого было обучение в Гёттингене, куда он направился следующей весной. В этом городе, "прославившемся своими колбасами и университетом", как говорится в "Путешествии по Гарцу" Гейне, Борн закончил свое образование.
В Гёттингене он встретил знаменитого математика Давида Гильберта, который находился в зените своей научной славы. Учителями Борна были и "великий Феликс", как студенты называли математика Феликса Клейна, и Герман Минковский, лекции которого в Цюрихе прилежно пропускал Эйнштейн. "Из трех великих: Феликса Клейна, Давида Гильберта и Германа Минковского, Клейн интересовал меня меньше всего, Гильберт - больше всего", - говорил Борн позднее Через год после своего прибытия в Геттинген он стал приват-ассистентом Гильберта: свидетельство того, что начинающий физик уже тогда имел выдающиеся математические познания и навыки.
Склонность Макса Борна к астрономии получила в Гёттингене новую пищу. Карл Шварцшильд, который в дальнейшем приобрел известность как руководитель Астрофизической обсерватории в Потсдаме (его именем названа сейчас обсерватория в Таутенбурге под Йеной), возглавлял тогда Гёттингенскую обсерваторию, в которой в свое время несколько десятилетий работал Гаусс. В свои 30 лет Шварцшильд был одним из самых молодых профессоров университета.
"Я присоединился к его астрофизическому семинару, - сообщал Макс Борн, - и был впервые введен в современные проблемы астрономии. Мы обсуждали среди прочих и вопрос об атмосферах планет, и мне пришлось делать доклад об утечке газа в межзвездное пространство из-за диффузии, происходящей вопреки силе тяжести. Так что я был вынужден заняться тщательным изучением кинетической теории газов, которая тогда, в 1904 году, не была систематической частью программы по физике. Но это не единственный предмет, с которым я познакомился благодаря обучению у Шварцшильда".
Известный астрофизик, скончавшийся во время первой мировой войны (Эйнштейн посвятил его памяти взволнованную речь), не ограничивался в своих исследованиях узкой специальностью. Ему принадлежат классические работы и по геометрической оптике. Молодой Борн многому мог научиться у Шварцшильда, и позднее он всегда с благодарностью вспоминал об этом великолепном учителе, который, по его словам, так сильно отличался "от обычного типа величественных бородатых немецких ученых того времени". Пристальный интерес вызывали у него лекции по оптике Вольдемара Фойгта, последователем которого он стал спустя два десятилетия.
За работу в области теории упругости (эта работа была по ходатайству Феликса Клейна отмечена премией философского факультета университета) Макс Борн получал в январе 1907 года степень доктора философии. Его диссертация (которая также была удостоена премии) называлась "Исследование устойчивости упругих линий на плоскости и в пространстве в различных краевых условиях". Экспериментальную часть исследования он провел в своей студенческой комнате при помощи простых, им же самим построенных аппаратов. Тогда это еще было возможно Впервые при этом Борн ощутил "удовлетворение и радость" от совпадения теории и измерений.
Весной 1907 года молодой доктор на многие месяцы отправился в Кембридж в Англию для того, "чтобы узнать что-нибудь об электроне из первоисточника". В Кавендишской лаборатории он слушал лекции Дж.Дж. Томсона и Дж. Лармора. Крупный исследователь атома Томсон произвел на нега сильное впечатление своими "удивительными экспериментами". Лекции Лармора дали ему меньше, и не только потому, что ирландское произношение ученого затрудняло понимание.
Осенью 1907 года Макс Борн возвратился в свой родной город. Он стремился еще более основательно заняться экспериментальными работами под руководством физиков-экспериментаторов Отто Луммера и Эрнста Прингсгейма. В 90-х годах в Берлине они осуществили измерения черного излучения, способствовавшие открытию Планком элементарного кванта действия, и незадолго до этого стали преподавать в Бреслау. "Мои попытки учиться экспериментировать у Луммера и Прингсгейма, - писал Борн в автобиографическом введении к своим избранным статьям, - были не очень успешными, а после наводнения, происшедшего в моем кабинете по моей же небрежности, они приостановились".
Еще в Гёттингене Борн на семинарах Минковского познакомился с представлениями, которые были разработаны Фитцджеральдом, Лоренцем, Пуанкаре и другими теоретиками по вопросу электродинамики движущихся тел. Он был знаком также и с преобразованиями Лоренца. Работы Эйнштейна были тогда еще неизвестны. Его внимание привлек к ним только в Бреслау его знакомый польский физик. Борн воспринял идеи Эйнштейна "как откровение".