8πν²/c².
Вспомним, что Эйнштейн уже в своей статье 1905 года доказал: энтропия излучения черного тела для низкой плотности похожа на энтропию газа, состоящего из частиц. Бозе берется за эту идею и доказывает, что излучение в полости ведет себя подобно газу — фотонному газу. Так мы забываем о волнах Рэлея и осцилляторах Планка. Учитывая, сколько механических состояний возможно для частиц, соответствующих квантовой теории и выражению де Бройля, Бозе обнаруживает искомый показатель.
До конца не осознавая этого, Бозе обращается с квантами света как с неотличимыми друг от друга частицами. Это целостная квантовая характеристика, физическое следствие принципа неопределенности.
Бозе и Планк использовали иную форму подсчета состояний, которая отличалась от примененной первоначально Больцманом. В одной из своих статей о статистической интерпретации энтропии Больцман задается вопросом, сколькими способами можно распределить N молекул между разными состояниями энергии. Для Больцмана молекулы были различимы, было важно, имеем мы дело с молекулой 1 с энергией Е1 и молекулой 2 с энергией Е2, или наоборот. В то же время Планк разделяет неразличимые энергетические уровни, равные величине Uv, между числом N различимых осцилляторов. Бозе распределяет неразличимые фотоны в момент Uv/c между вероятными механическими состояниями. Подсчеты молодого индийского ученого и Планка практически идентичны и даже при разной интерпретации приводят к одному результату. Мы сможем понять разницу между способами подсчета, если представим четырех игроков, которым мы раздадим четыре карты, каждому по одной. Для Больцмана четыре карты были бы разными, например четыре туза, и существовало бы (возможность выбрать четыре карты для первого игрока, три — для второго, две — для третьего, одну — для последнего) 4-3-2-1 = 24 способа сдачи, это 24 разные партии. Для Планка и Бозе все четыре карты были бы одинаковыми, и была бы возможна всего одна партия. Планк и Бозе, не осознавая этого, играли с Больцманом в разные игры. Эйнштейн, прочитав статью Бозе, также включился в игру по квантовым правилам. Благодаря этим правилам Эйнштейн открыл законы квантового газа и предсказал явление конденсата Бозе — Эйнштейна — новое состояние материи при сверхнизких температурах, которое было экспериментально доказано в 1995 году и сейчас является важным полем исследований.
Классическая партия
Квантовая партия
Как мы увидели, квантовые частицы не имеют определенной траектории, и когда две идентичные частицы вступают во взаимодействие, например при столкновении, мы не можем проследить за ними или различить их. Корпускулярно-волновой дуализм позволяет интуитивно интерпретировать это свойство: если две частицы отдалены друг от друга и соответствующие им волны не накладываются, мы можем считать частицы отдельными объектами. При взаимодействии волны создают помехи и взаимно накладываются, поэтому невозможно с точностью сказать, где находится одна частица, а где — вторая. После окончания взаимодействия мы можем вновь говорить о двух частицах, хотя и не будем знать, какая из них где. На схеме показана разница между классическим вариантом столкновения частиц, после которого обе частицы различимы, и квантовым понятием интерференции, препятствующим различению.
В статье, написанной в том же году, Эйнштейн обобщил статистику Бозе до случая газа с материальными частицами (вместо фотонов), выводя отсюда законы квантового газа. Статья Бозе положила конец поискам обоснования закона Планка через общие принципы. Эйнштейн, Эренфест и особенно Поль Дирак отшлифовали детали и четче выразили гипотезы Бозе, подразумеваемые в статье. Следствие из закона Планка, сделанное Бозе, можно сегодня увидеть в учебниках по статистической физике, и оно целиком и полностью соответствует квантовой теории.
После квантового столкновения остаются две частицы, но мы не можем их отличить.
Глава 4
Универсальные константы против неопределенности
Гений термодинамики, борец за внедрение в науку актуальнейших принципов теории относительности, ключевая фигура философии науки — роль Планка выходит далеко за пределы квантовой теории. Его страстное увлечение поисками фундаментальных принципов увенчалось выделением новых констант, укрепивших наши представления о Вселенной, его наследие живет в ведущей исследовательской организации, получившей признание во всем мире, — Обществе научных исследований Макса Планка.