Когда великий английский сатирик Джонатан Свифт делал в своих путешествиях Гулливера великанов в 12 раз выше людей и в 1728 раз тяжелее, он строго соблюдал законы геометрического подобия. Однако для такого подобия вполне достаточно одной теоремы и не нужна целая теория. Но это ведь только простейший случай подобия. Не надо покидать пределы геометрии, чтобы наткнуться на одновременно более сложные и менее полные примеры подобия. Дело вот в чем. Квадрат, разумеется, не подобен вытянутому прямоугольнику, если исходить из только что процитированной теоремы. Но геометрия знает так называемое аффинное подобие, под правила которого и подпадает пара квадрат-прямоугольник. С точки зрения теории подобия квадрат может выступать в качестве представителя всех прямоугольников, потому что он подчиняется всем без исключения законам геометрии, действительным для прямоугольников, — это ведь только один их вид. Круг оказывается аффинноподобен эллипсу (правда, при условии, что этот эллипс можно некоторыми приемами, их и называют аффинными, превратить в круг).
Существует целый большой раздел математики, именуемый «аффинная геометрия», который и занимается величинами и геометрическими объектами, остающимися неизменными при аффинных преобразованиях. Но геометрия была для теории подобия только стартовой площадкой. И условности и правила подобия, выработанные математикой, были оставлены далеко позади в технике.
Здесь особенно часто приходится иметь дело с явлениями, в одно и то же время и однородными и отличающимися друг от друга, хотя бы в деталях. Исследовать каждое из них в отдельности? Что же, замечательный выход. Но опыты, во-первых, требуют огромного количества сил и времени, а во-вторых, не всегда возможны.
И тогда вместо бесконечного ряда явлений, предметов, процессов берут одно явление, один предмет или процесс. И это «одно» заменяет все остальные, представительствует, так сказать, от их лица, как один прямоугольник может представлять все аффинноподобные ему фигуры. Найденные для этого явления закономерности рассматриваются как общие и для однородных с ним — так формула определения площади одна для всех прямоугольников. Метод подобия оказывается методом обобщения, превращающим свойства одного предмета в свойства сотен других. «Превращающим» — слово это здесь не точно. Свойства одного объекта мы распространяем на все предметы того же рода.
Кроме того, теория подобия занимается выяснением степени родства между явлениями, ищет общее для внешне различных процессов. А родство тут может быть очень разным — и совсем близким и вроде седьмой воды на киселе.
Идеальное родство — абсолютное подобие — увы, вне математики обычно остается чистой абстракцией. Родство ближайшее — полное подобие. Его находят там, где все стороны одного процесса подобны соответствующим сторонам другого. Полное подобие, например, у двух двигателей одного типа.
Неполное подобие — подобие лишь между отдельными сторонами двух процессов (случай с ухом на портрете).
Есть и еще более дальнее родство — приближенное подобие, когда сходство между сторонами явлений оказывается весьма относительным.
Но в родстве-подобии ведется и иной счет — по природе уподобляемых друг другу процессов.
Когда говорят о физическом подобии двух процессов, это означает, что движению воды в трубе в одном из этих процессов соответствует движение воды в другой трубе, работе одного двигателя — работа другого двигателя и так далее.
А вот если речь идет об уподоблении математическом — значит, воду заменяет, скажем, движение электронов, а микроскопические взрывы бензина в моторе представлены рядами цифр. Такое уподобление зовут еще аналогией. Но как возникает, на чем держится родство столь разных вещей? И почему такое подобие называют именно математическим?
Здесь придется обратиться к языку современной науки. Нет, не к Алголу или другим вариантам языка, создающегося сейчас для общения с машинами. Старый язык науки, на котором она говорит со времен Ньютона, пользуется двумя алфавитами — греческим и латинским — и честными арабскими цифрами. Имя этому языку — дифференциальные уравнения. Если вы знакомы уже с ними — очень хорошо. Если нет — лучше, чтобы вам их представил учебник или популярная книга по математике. Здесь же можно ограничиться знакомством чисто шапочным. Для целей этой книжки достаточно напомнить колоссальное значение дифференциальных уравнений в науке. Надо, впрочем, подчеркнуть еще два обстоятельства. Первое — то, что дифференциальные уравнения описывают процессы, происходящие во времени, и учитывают фактор времени. Второе — то, что эти уравнения не просто язык, но язык универсальный для всех точных наук.