Парадоксы теории множеств заставили математику ревизовать свои логические устои.
Как известно, ахиллесовой пятой канторовской теории множеств был её неконструктивный характер. Кантору ставили в упрёк, что он прибегал к доказательству от противного. Он обосновывал истинность фундаментальнейших выводов своей теории не прямо, а косвенно — демонстрируя абсурдность противоположного утверждения. До поры до времени это казалось убедительным. В самом деле, если одно из двух взаимоисключающих предложений ложно, то другое обязательно должно быть истинным. По крайней мере так гласил закон исключённого третьего. Приём редукцио ад абсурдум (приведение к нелепости) широко практиковался в математике со времён Евклида. Но ведь у Рассела в его парадоксе с брадобреем та же логическая процедура, проверенная тысячелетиями, дала осечку! Так почему же, спрашивается, она не могла подвести и Кантора? Неужто и впрямь… «движенья нет»? Во всяком случае, в логике опровергателей Зенона, апеллировавших к построениям Кантора…
Но, быть может, противоречия были порождены чересчур вольной трактовкой понятия «множество»? А если более строго сформулировать требования к смыслу каждого термина, к каждой логической процедуре? И даже попытаться, если удастся, построить «конструктивную» логику, где не будет закона исключённого третьего и доказательств от противного?
Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой «надматематической» науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.
Загляните в книгу С. К. Клини «Введение в метаматематику». Поначалу она наверняка отпугнёт вас умопомрачительной абракадаброй символов, а потом… Потом, глядишь, и притянет — скорей всего удивительным лаконизмом, элегантной строгостью, а если разобраться, то и простотой своеобычного языка знаков. Языка, которым описываются самые замысловатые умозаключения. В том числе и комичные логические нелепицы наподобие той, что возникла в эпизоде с «сеньором губернатором» Санчо Пансой. Странное, парадоксальное сочетание, не правда ли? Полнокровная проза Сервантеса и анемичные иероглифы математической «стенографии» — ведь это на первый взгляд две вещи столь же несовместные, как гений и злодейство! Ну как втиснуть живую человеческую речь, да не просто речь, а рассуждения, в прокрустово ложе математических формул?
«Когда я, будучи мальчиком, знакомился с предложениями обычной логики и мне ещё была незнакома математика, у меня возникла, не знаю, по какому наитию, мысль о том, что можно изобрести такой анализ понятий, с помощью которого истины можно будет комбинировать и высчитывать как числа».
Так на закате жизни делился своими неосуществлёнными мечтами блестящий дипломат и гениальный математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он, как никто другой, остро чувствовал изъяны классической логики. Сведённая в систему ещё Аристотелем, она с тех пор на протяжении двадцати веков оставалась неизменной. Но значило ли это, что её нельзя усовершенствовать?
Великий немецкий реформатор считал, что наши знания можно разложить на простые элементы. Обозначенные особыми символами, они составят алфавит человеческих мыслей. Спрашивается, зачем?
— Споры не придут к концу, ежели не отказаться от словесных рассуждений в пользу простого исчисления, — объяснял Лейбниц, — ежели не заменить слова неясного и неопределённого смысла однозначными символами. После введения оных двум философам, буде возникнет между ними препирательство, уже не надобно стараться перекричать друг друга. Спорщикам не потребуется ничего иного, кроме как взять в руки перья, сесть, подобно бухгалтерам, за свои конторки и сказать: давайте-ка вычислять!
Лишь через полтораста лет началось осуществление идей Лейбница. В 1847 году ирландский учёный Джордж Буль печатает «Математический анализ логики», где впервые излагает исчисление высказываний — так называемую алгебру логики. «Тот, кто знаком с современной алгеброй, — замечает автор, — знает, что правильность аналитической процедуры не зависит от истолкования символов. Поэтому один и тот же приём может дать при одном истолковании решение проблемы теории чисел, при другом — решение проблемы геометрии, при третьем — решение проблемы динамики или оптики и так далее». В булевой алгебре буквами обозначаются высказывания, причём самые громоздкие и запутанные логические построения сводятся к простым арифметическим действиям.
Вторжение формул и уравнений имело для логики столь же решающее значение, как и появление буквенных обозначений для математики. Архимед, Евклид, Диофант и другие титаны античной математики не пользовались языком формул. Нет, не потому, что не хотели. Они его не знали. И излагали свои мысли в словах и рисунках. Геометр перед геометром изображал палочкой на песке квадрат. Потом проводил внутри него крест-накрест две черты, отсекавшие от квадрата по равной продолговатой краюхе справа и снизу. Пересекаясь, линии образовали в правом нижнем углу маленький квадратик. И любой, кто смотрел на рисунок, — грек ли, римлянин или араб, — даже не зная языка, понимал без слов: квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин, сложенной с удвоенным произведением первой величины на вторую. Труднее было объяснить, чему равен куб суммы. Приходилось чертить куб, вычленять из него меньший куб и затем суммировать объёмные дольки. Зато четвёртую степень суммы наглядно объяснить не удавалось, не говоря уже о пятой, шестой и так далее. Геометрия пасовала. Между тем с помощью буквенных обозначений по формуле бинома Ньютона можно без труда подсчитать сумму двух членов, возведённую в любую степень:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + Зa2b + Зab2 + b3;
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
И так далее. Комментарии излишни: преимущества говорят сами за себя.
А теперь вчитаемся в необычную надгробную надпись:
Ну-ка решите задачу в уме, рассуждая — и только, не прибегая к услугам пера и бумаги. Что, трудновато? Ладно, давайте лучше втиснем певучий гекзаметр в строгую метрику формул.