Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. «С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, — отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, — борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти учёные сделали ряд ошибок и произвольных допущений; математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки, дав методологию предельной процедуры».
И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает «возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма — несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кеплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница»
Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!
Откроем монографию А. Н. Вяльцева «Дискретное пространство-время», изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовёшь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет, лежит в стороне от обычных исследовательских и тем, паче журналистских троп, Почитайте её и поразмыслите над такими словами её автора: «Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу же во всех относящихся к делу случаях речь идёт о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперёд перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощён в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.
Применение дифференциального исчисления к подсчёту электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов даёт хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии… Тогда придётся оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических «лесов» и вступить в область оригинального математического творчества — в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из неё. Для продвижения вперёд потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.
Какая это заманчивая задача — создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат ещё не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат ещё ждёт своих Лагранжей и Гамильтонов!»
Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдёт математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершённым, застывшим в своём развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, её ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины.
Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твёрдо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения.
Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идёт человеческий мозг в своём стремлении достигнуть истинного знания. Как далёк век Ньютона от века Зенона! Но ещё дальше ушли мы от века Ньютона. По объёму накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно всё, что следует за восклицанием: «Эврика!» Но нам ещё предстоит узнать то, что ему предшествует — в недрах человеческого мозга.
Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приёмов и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперёд в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил «Логики» (с большой буквы), то он оставил логику «Капитала». Если бы удалось овладеть приёмами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки — в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведённых примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский учёный, автор нашумевшей книги «Предвидимое будущее», заявил: «…наш век знаменует собой начало науки о мышлении». И эта наука не стоит на месте.
А как же всё-таки быть с парадоксами? Неужели ограниченность математики и кибернетики непреодолима?
Вместо ответа разрешите пересказать поучительную притчу-парадокс, которая появилась в начале сороковых годов и с тех пор не менее десяти раз дискутировалась в серьёзном философском журнале «Майнд», издающемся в Великобритании.
Жил-был пират по кличке Чёрная борода. Долго держал он в страхе торговые корабли. В один прекрасный день грозный морской браконьер оказался за решёткой. Его приговорили к повешению. «Казнь свершится в полдень, в один из семи дней следующей недели, — сказал судья преступнику. — И мы заготовили для тебя маленький сюрприз: ты не будешь знать заранее, в какой именно день тебя вздёрнут на виселицу. Об этом тебе сообщат лишь утром того самого рокового дня, когда перед тобой разверзнутся врата ада. Так что тебя постигнет неожиданное возмездие».
Судья слыл человеком слова. И Чёрная борода помрачнел, отлично представляя себе, что такое мучительная неизвестность ожидания внезапной смерти. Теперь уж ему не заснуть спокойно ни в одну из ночей. Ох, и жестокий же он был человек, этот судья!