Понимание любых, даже самых сложных и неизученных, вещей возникает не в результате внезапного, данного свыше озарения, а в результате упорного труда.
Именно поэтому, несмотря на то, что сознательные
усилия чередуются с подсознательными и, казалось бы, вносится неопределенный элемент догадок и интуиции, результаты в научной работе пропорциональны затраченному труду, пропорциональны затраченному времени.
Здравый смысл позволяет так организовать труд, методику работы, чтобы на долю интуиции оставались только небольшие скачки. Любая сложная задача должна быть сведена к совокупности гораздо более легких. Движение к окончательному результату сводится к последовательному преодолению сравнительно небольших трудностей, к движению шаг за шагом.
Как это делается? Прежде всего задача упрощается до предела, так что остаются только главные ее черты. Постепенно усложнять уже решенную задачу несравненно легче, чем заново решать сложную. Затем выясняется возможность решения задачи в предельных частных случаях. Кроме того, раньше чем пытаться получить количественные решения, нужно найти результаты грубо, качественно, что гораздо легче. И наконец, на всех этапах следует пытаться опровергнуть полученное, исполь-
зуя все известные до того соотношения, к которым полученный результат должен сводиться в частных случаях.
Надо делать также проверку логической структуры полученных результатов. Может ли этот результат следовать из принятых посылок? Не противоречит ли результат каким-либо принципам, которые могли бы быть незаметно нарушены при выводе? Очень часто результат применим при более широких предположениях, чем те, которые пришлось делать в процессе его получения. Выражаясь математически, результат может быть иногда аналитически продолжен за пределы сделанных предположений.
Не слишком ли легко результат получился? Ведь существует нечто вроде «закона сохранения трудностей». Если при каком-либо подходе выясняются принципиальные трудности решения, то они, как правило, должны проявиться и при любом другом подходе. Допустим, придуман остроумный обходный прием, устраняющий трудности. Не следует на этом успокаиваться, надо выяснить, почему трудности исчезли. Обычно после такого анализа задачу либо удается решить и прямым способом, либо обнаруживается ошибочность искусственного обходного решения.
И наконец, достаточно ли красиво то, что получилось? Иногда это внешние признаки красоты. Если в формуле стоят большие или неправдоподобно малые числовые множители, выражение выглядит некрасивым. Увидев формулу с несуразными числовыми множителями, нужно заподозрить ошибку. И очень часто «некрасивые» выражения действительно оказываются ошибочными. Некрасиво, если в формуле много коэффициентов, не определяемых теоретически, которые должны быть найдены из сравнения с экспериментом. Ощущение «красоты» трудно передать, не приводя сложных примеров. Иногда внешняя красота сводится к тому, что выражение имеет простой вид и радует глаз.
Одним из признаков правильных выкладок является сокращение сложных промежуточных выражений - это упрощает окончательный результат и придает ему красивый вид. Как сказал один физик: «Правильные выражения имеют тенденцию сокращаться».
Но гораздо важнее не внешние, а глубокие признаки красоты результатов. Красиво, если выражение связывает в простой форме разнородные явления, если
устанавливаются неожиданные связи… Одна из красивейших формул теоретической физики - формула теории тяготения Эйнштейна, связывающая радиус кривизны пространства с плотностью материи. Или уравнения Максвелла, в которых в компактной форме содержится информация обо всех электрических и магнитных явлениях… Требование красоты, не являясь абсолютным, помогает находить и проверять полученные результаты и находить новые законы природы. Но об этом еще будет подробный разговор.
«Я советов не даю, но все-таки скажу…»
(из разговора с другом)
Вот разумная, на мой взгляд, последовательность действий в теоретической физике, а может быть, и не только в ней. (В связи с этим рекомендую читателям блестящую книгу Д. Пойа «Как решать задачу».) Следует начать с попытки решения задачи до изучения литературы. Это первое знакомство с задачей без предвзя-тостей, продиктованных предшествующими работами, первые качественные оценки порядков ожидаемых величин, первые поиски путей решения, во многом определяют будущий ход работы. Возникает активное отношение к изучению литературы (вторая стадия работы). Изучение впрок всегда менее эффективно, чем изучение для дела, под определенным углом зрения. После этого или одновременно выясняются ограничения, накладываемые на возможный результат общими принципами теоретической физики, например, законами сохранения. Далее следует приступить к попытке нахождения грубого качественного решения при различных значениях параметров задачи. Затем - попытаться найти количественное решение задачи в предельных случаях, при значениях параметров, когда задача существенно упрощается. Далее наступает, быть может, самая важная и трудная часть работы. Полученные результаты анализируются и критикуются всеми методами, о которых мы говорили. Если все добытое до этого окажется верным, можно приступить к последнему усилию - получить количественный результат аналитически или с помощью вычислительных машин. И конечно, на всех стадиях работа должна обсуждаться со всеми, кто занимался этой или близкими задачами. Завершение работы - ее публикация. Следует уже подготовленную к печати законченную работу какое-то время «выдержать» и затем просмотреть снова. Срок выдержки остается на совести автора.
Иногда ошибка видна сразу
Какие ограничения накладывают на решение задачи общие теоремы теоретической физики?
В солнечный зимний день большая компания загорала на вершине Кохты в Бакуриани. Молодые люди радовались и удивлялись голубому цвету неба. Один из них сказал: «Голубой цвет неба объясняется тем, что по закону Рэлея рассеяние света пропорционально третьей степени частоты, и голубой свет, имеющий большую частоту, сильнее рассеивается». Этого я, как физик, стерпеть не мог. «Рассеяние света - явление обратимое и не может содержать нечетных степеней частоты, а закон Рэлея содержит не третью, а четвертую степень этой частоты. Допустив нечетную степень частоты в рассеянии, мы нарушаем закон обратимости природы, а значит, и всю термодинамику…» Этот разговор сильно повысил мой авторитет, подорванный невысокой горнолыжной квалификацией.
Действительно, есть такая теорема: все уравнения физики, кроме слабых взаимодействий, о которых речь пойдет позже, а следовательно, и явления природы, ими описываемые, не изменяются при изменении знака времени, а выглядят одинаково, смотреть ли на них из прошлого в будущее или из будущего в прошлое. Из этого свойства и следует, что обратимые величины могут быть только четными функциями частоты.
Логический анализ
Как пример анализа логической структуры доказательства рассмотрим теоретическое доказательство того, что все тела падают с одинаковой скоростью. Оно было приведено Галилеем в его знаменитой книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638). Опровергая утверждение Аристотеля, что более тяжелые тела падают с большей скоростью, Галилей приводит следующие рассуждения. Допустим, Аристотель прав, и тяжелое тело падает быстрее. Скрепим два тела - легкое и тяжелое. Тяжелое тело, стремясь двигаться быстрее, будет ускорять легкое, а легкое, стремясь двигаться медленнее, будет тормозить тяжелое. Поэтому скрепленное тело должно двигаться с промежуточной скоростью. Но ведь оно тяжелее, чем каждая из его частей, и будет двигаться не с промежуточной скоростью, а со скоростью, большей, чем скорость его более тяжелой части. Возникло противоречие, и значит, исходное предположение неверно.